2007-安徽卷理-03 单-函数图象位置关系

本题导读

本题考查绝对值不等式在全域上的恒成立问题。核心在于运用数形结合法，将不等式转化为绝对值函数 $y=|x|$ 的图象与动态含参直线 $y=ax$ 的几何位置覆盖关系。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 若对任意 $x\in \mathbf{R}$，不等式 $|x|\ge ax$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $a<-1$　　　　B. $|a|\le 1$　　　　C. $|a|<1$　　　　D. $a\ge 1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分区间去掉绝对值符号：

• 当 $x>0$ 时， $|x|=x$，不等式化为 $x\ge ax⟹1\ge a$；
• 当 $x<0$ 时， $|x|=-x$，不等式化为 $-x\ge ax$。两边同除以负数 $x$ 不等号变向： $-1\le a$；
• 当 $x=0$ 时， $0\ge 0$ 恒成立，对 $a$ 无约束。

2. 求交集锁定范围：综合正负区间的临界约束，求取交集。

3. 几何图象法验证： $y=|x|$ 是标准的 V 形折线。 $y=ax$ 是过原点的旋转直线。要使 V 形折线永远在直线的上方或重合，直线的斜率 $a$ 不能陡峭于 V 形折线的两条边界边界（即斜率必限制在 $[-1,1]$ 之间）。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：本题采用数形结合法最直观。 在同一直角坐标系中分别绘制不等式两边的函数图象：

• 左侧函数 $y=|x|$ 是以原点为顶点， 射线 $y=x$ ($x\ge 0$) 和 $y=-x$ ($x<0$) 构成的标准 V 形折线图象。
• 右侧函数 $y=ax$ 是表示一组经过坐标原点、斜率为 $a$ 的动态直线系。

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题目要求“对任意 $x\in \mathbf{R}$， 不等式 $|x|\ge ax$ 恒成立”， 映射到几何图形上， 意味着折线 $y=|x|$ 的图形在全体实数域上必须始终位于直线 $y=ax$ 的上方（或相交重合）。

• 观察第一象限（ $x>0$ 区域）： 直线的斜率 $a$ 绝不能超过射线 $y=x$ 的斜率 1， 否则在右侧直线将穿到 V 形折线上方， 故满足： $a\le 1$
• 观察第二象限（ $x<0$ 区域）： 直线的斜率 $a$ 绝不能低于射线 $y=-x$ 的斜率 $-1$， 否则在左侧射线 $y=-x$ 将落在直线 $y=ax$ 的下方（由于负数相乘的极值特征）， 故满足： $a\ge -1$

综上所述， 实数 $a$ 的取值范围必须受到双向夹逼刚性控制： $-1\le a\le 1$ 用绝对值符号表示即为： $|a|\le 1$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数图象的几何边界、过原点直线斜率对半平面位置的控制、不等式全域恒成立的零点划分。
2. 核心方法：数形结合法、特值排除法（如取 $a=-1$，对于任意 $x$， $|x|\ge -x$ 显然恒成立，可以直接排除 C 选项；取 $a=1$， $|x|\ge x$ 恒成立，排除 A 和 C。比对选项直接锁定 B ）。
3. 避坑指南：

• 分区间去绝对值同除以 $x$ 时，千万注意当 $x<0$ 时两边同除以负数，不等号的方向必须强制发生翻转。很多考生因忽视此项错导出 $a\le -1$，从而无法求出交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学必修一绝对值不等式与函数图象关系的考查，属于基础变形中档题。

2. 结论推广: 针对任意形如 $|f(x)|\ge a\cdot f(x)$ 且 $f(x)$ 能取遍实数域的值域型不等式， 其参数 $a$ 的全局恒成立约束通解模型永远收敛于固定的闭区间 $|a|\le 1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 05.03 专题-恒成立问题