2007-安徽卷理-08 单-空间向量立体几何基本量

本题导读

本题考查正四面体外接球中的球面距离求解。核心在于精确量化正四面体四个顶点在其外接球球心处所形成的张角（即弦心角），从而根据球面距离等于大圆劣弧长的定义直接锁定答案。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 半径为 1 的球面上的四点 $A,B,C,D$ 是正四面体的顶点，则 $A$ 与 $B$ 两点间的球面距离为()

A. $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$　　　　　B. $\arccos \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$　　　　　C. $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$　　　　　D. $\arccos \left(-\frac{1}{4}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 透析球面距离本质： $A,B$ 两点间的球面距离， 指的是经过 $A,B$ 以及球心 $O$ 的大圆所截得的劣弧 $\widehat{AB}$ 的长度。其通式为 $s=R\cdot \theta$（其中 $\theta =\angle AOB$ 为弦心角）。
2. 提取正四面体核心张角几何特征：

• $A,B,C,D$ 构成球内接正四面体，球心 $O$ 恰好为该正四面体的几何中心。

• 任意两顶点与中心连线的夹角 $\angle AOB,\angle BOC,\angle AOC$ 等大小完全相等。可以借助空间向量或将其嵌入到正方体模型中，快速求解该核心张角的余弦值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据正四面体与其外接球的几何空间外延，球心 $O$ 恰好重合于正四面体 $ABCD$ 的代数几何中心。 由空间对称性可知， 任意两个顶点对球心 $O$ 所形成的张角均等大。设弦心角 $\angle AOB=\theta$。

为了最简捷严谨地计算该角度的余弦值， 采用正方体嵌入法（模型割补法）：

一个正四面体可以完美嵌入到一个正方体中，正四面体的 4 个顶点恰好作为正方体不相邻的 4 个对角顶点。 此时，正方体的中心与正四面体的外接球球心 $O$ 完全重合。 建立空间直角坐标系， 设正方体的中心为原点 $O(0,0,0)$， 边长合适平移。 正方体中心的任意两个到不相邻顶点的方向向量可以表示为： $\overrightarrow{OA}=(1,1,1),\overrightarrow{OB}=(-1,-1,1)$ (注：对应正方体内部由中心指向其各顶点的标准分量)

利用空间向量的夹角余弦公式计算向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的夹角 $\theta$： $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|}=\frac{1\times (-1)+1\times (-1)+1\times 1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\times \sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{-1-1+1}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=-\frac{1}{3}$ 由此求得弦心角为： $\theta =\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$

根据球面距离公式，当球半径 $R=1$ 时， 两点间的球面距离严格等于其弦心角的弧度值： $s=R\cdot \theta =1\times \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)=\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：外接球球心与正四面体几何中心的重合特质、正四面体中心张角余弦值为 $-\frac{1}{3}$ 的刚性几何常数。
2. 核心方法：正方体割补嵌入法、空间向量法。
3. 避坑指南：

• 这一高频几何性质在高考立体几何中应用极广，“正四面体中心张角余弦值恒等于 $-1/3$” 属于可直接记忆的顶级核心常数（如甲烷分子键角 $\approx 109^{\circ }28^{\prime }$ 对应的就是该角度）。考场上若熟记此常数，可不用动笔直接秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正四面体的几何性质（外接球）、球面距离与大圆弦心角是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正四面体的几何性质（外接球）、球面距离与大圆弦心角的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用空间坐标代数化法、几何常数模型记忆法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2008-湖南卷文-09 单-长方体外接球距离