2007-山东卷文-09 单-抛物线焦半径夹角

本题导读

本题考查抛物线，以及焦半径。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 设 $O$ 是坐标原点，$F$ 是抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点，$A$ 是抛物线上的一点，$\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向的夹角为 $60^{\circ }$，则 $|\overrightarrow{OA}|$ 为 ()

A. $\frac{21p}{4}$　　　　　B. $\frac{\sqrt{21}p}{2}$　　　　　C. $\frac{\sqrt{13}}{6}p$　　　　　D. $\frac{13}{36}p$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $F\left(\frac{p}{2},0\right)$；$FA$ 与 $x$ 轴正向成 $60^{\circ }$，斜率 $\sqrt{3}$：$y_A=\sqrt{3}\left(x_A-\frac{p}{2}\right)$。
2. 代入 $y^2=2px$：$3{\left(x_A-\frac{p}{2}\right)}^2=2p{x}_A$，整理 $12x_A^2-20p{x}_A+3p^2=0$。
3. 解得 $x_A=\frac{3p}{2}$ 或 $\frac{p}{6}$；夹角 $60^{\circ }$ 且指向右上取 $x_A=\frac{3p}{2}$，$y_A=\sqrt{3}p$。
4. $|OA{|}^2=\frac{9p^2}{4}+3p^2=\frac{21p^2}{4}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$F\left(\frac{p}{2},0\right)$，由 $\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向夹角为 $60^{\circ }$，直线 $FA$ 的斜率为 $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$， 故 $y_A=\sqrt{3}\left(x_A-\frac{p}{2}\right)$． 代入 $y^2=2px$：$3{\left(x_A-\frac{p}{2}\right)}^2=2p{x}_A$，展开整理得 $12x_A^2-20p{x}_A+3p^2=0$， 解得 $x_A=\frac{3p}{2}$ 或 $x_A=\frac{p}{6}$． $x_A=\frac{p}{6}<\frac{p}{2}$ 时 $A$ 在 $F$ 左侧，$\overrightarrow{FA}$ 指向 $x$ 轴负向，与题设”与 $x$ 轴正向夹角 $60^{\circ }$“不符，故取 $x_A=\frac{3p}{2}$，$y_A=\sqrt{3}p$． 于是 $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{x_A^2+y_A^2}=\sqrt{\frac{9p^2}{4}+3p^2}=\sqrt{\frac{21p^2}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{2}p$，选 B． （易错点：两解取舍——另一解对应 $\overrightarrow{FA}$ 与 $x$ 轴正向夹角 $120^{\circ }$ 的情形．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦半径夹角

核心方法：夹角 60° 写出直线 $FA$，联立抛物线取 $x_A>\frac{p}{2}$ 的根

避坑指南：两解取舍按方向：与 $x$ 轴正向夹角 60° 时 $A$ 在 $F$ 右侧；焦半径 $|FA|=x_A+\frac{p}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦与夹角结合，解析几何小题

结论推广：过焦点斜率 $k$ 的直线与 $y^2=2px$ 联立，判别式定两解

方法推广：焦点弦问题优先联立 + 焦半径 $|FA|=x_A+\frac{p}{2}$ 双向验证

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2007-新课标卷文-07 单-抛物线的焦半径公式
• 2007-大纲卷I文-12 单-抛物线焦点弦与三角形面积
• 2009-大纲卷II文-11 单-抛物线焦半径定斜率
• 2007-安徽卷文-18 解-抛物线焦点弦垂直面积