2007-山东卷文-11 单-图象交点零点区间

本题导读

本题考查零点存在定理，以及图象交点。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 设函数 $y=x^3$ 与 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}$ 的图象的交点为 $(x_0,y_0)$，则 $x_0$ 所在的区间是 ()

A. $(0,1)$　　　　　B. $(1,2)$　　　　　C. $(2,3)$　　　　　D. $(3,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 交点即 $x^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}$ 的解。
2. 令 $f(x)=x^3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}$（单调递增，唯一零点）。
3. $f(1)=1-2=-1<0$，$f(2)=8-1=7>0$，零点在 $(1,2)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

交点满足 $x^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}$． 令 $f(x)=x^3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}$，$x^3$ 递增、${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}$ 递减，故 $f$ 单调递增，至多一个零点． $f(1)=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=1-2=-1<0$，$f(2)=8-{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=8-1=7>0$． 由零点存在定理，$x_0\in (1,2)$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象交点零点区间

核心方法：构造 $f(x)=x^3-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}$ 用零点存在定理

避坑指南：单调性保证唯一零点（本题不证也行）；代端点值算准 $2^{-1}=\frac{1}{2}$ 的取值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点存在定理估算交点区间，函数应用经典题

结论推广：$x^3$ 增、${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}$ 减，交点唯一

方法推广：估算零点：构造差函数、代整点、单调性保证唯一

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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• 2009-福建卷文-11 单-函数零点估算
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