2007-山东卷理-09 单-函数零点二次方程判别式

本题导读

本题考查常用逻辑用语中的充要条件判定。题干综合了二次函数零点、偶函数定义、三角函数性质以及集合代数运算，要求学生在不同的知识板块中精准进行逻辑符号的等价转换。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 下列各小题中，$p$ 是 $q$ 的充要条件的是() ① $p:m<-2$ 或 $m>6$；$q:y=x^2+mx+m+3$ 有两个不同的零点． ② $p:\frac{f(-x)}{f(x)}=1$；$q:y=f(x)$ 是偶函数． ③ $p:\cos \alpha =\cos \beta$；$q:\tan \alpha =\tan \beta$． ④ $p:A\cap B=A$；$q:{\complement }_{U}B\subseteq {\complement }_{U}A$．

A. ①②　　　　　　　B. ②③　　　　　　　C. ③④　　　　　　　D. ①④

🔍【思路分析】

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1. 对四个命题逐一进行双向逻辑推导，判定是否满足 $p⟹q$ 且 $q⟹p$。

2. ①利用判别式 $\Delta >0$ 求解；②注意分母不为 0 的隐含条件；③利用三角函数周期性与对称轴检验；④利用集合运算的维恩图或性质转化。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对于①：$q⟺\Delta =m^2-4(m+3)>0⟺m^2-4m-12>0⟺m<-2$ 或 $m>6$，与 $p$ 完全等价，故①是充要条件； 对于②：$p⟹f(-x)=f(x)$ 且 $f(x)\ne 0$，而 $q$ 允许 $f(x)=0$ 恒成立，两者不等价（$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件），故②不是充要条件； 对于③：当 $\alpha =\frac{\pi }{3},\beta =-\frac{\pi }{3}$ 时，$\cos \alpha =\cos \beta$ 成立，但 $\tan \alpha \ne \tan \beta$，两者不等价，故③不是充要条件； 对于④：$p⟺A\subseteq B⟺{\complement }_{U}B\subseteq {\complement }_{U}A⟺q$，两者完全等价，故④是充要条件． 综上所述，满足充要条件的是①④． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件的定义，二次方程根的分布，偶函数的定义域与值域限制，补集的对偶律（德·摩根定律）。

2. 核心方法：充要条件判定的集合法（若 $p,q$ 对应集合相等则为充要条件）与反例否定法。

3. 避坑指南：②中极易忽略分式本身要求分母 $f(x)\ne 0$ 的限制；③中易混淆正弦、余弦与正切函数的对称性及周期差异。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题是由高中数学多个核心基础概念重组而成的综合逻辑题，其中④直接源于集合的基本运算性质及集合逻辑的等价性。

5. 结论推广：集合包含关系具有以下等价链：$A\subseteq B⟺A\cap B=A⟺A\cup B=B⟺{\complement }_{U}B\subseteq {\complement }_{U}A⟺A\cap {\complement }_{U}B=\varnothing$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2019-全国卷I理-04 单-黄金分割