2007-山东卷理-14 填-点到直线距离公式

本题导读

本题考查平面可行域的绘制与点到直线距离的最值问题。核心在于将距离最大值转化为目标函数截距的最值问题，体现了数形结合的数学思想。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 设 $D$ 是不等式组 $\{\begin{array}{l}x+2y\le 10\\ 2x+y\ge 3\\ 0\le x\le 4\\ y\ge 1\end{array}$ 表示的平面区域，则 $D$ 中的点 $P(x,y)$ 到直线 $x+y=10$ 距离的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 画出不等式组表示的平面可行域 $D$，确定其边界顶点的坐标。

2. 分析点 $P(x,y)$ 到直线 $x+y=10$ 的距离公式，将距离最大值转化为求 $x+y$ 最小值的线性规划问题。

✅【答案】

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$4\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

点 $P(x,y)$ 到直线 $x+y-10=0$ 的距离为 $d=\frac{|x+y-10|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|x+y-10|}{\sqrt{2}}$． 由可行域 $D$ 的边界条件 $x+2y\le 10$ 且 $y\ge 1$ 可知 $x+y<x+2y\le 10$，故 $x+y-10<0$． 因此距离公式可化简为 $d=\frac{10-(x+y)}{\sqrt{2}}$．要使 $d$ 最大，只需 $z=x+y$ 取得最小值． 作出平面区域 $D$，其为一个多边形区域，顶点分别为 $(1,1),(4,1),(4,3),(0,5),(0,3)$． 平移直线 $x+y=z$，当直线经过可行域的顶点 $(1,1)$ 时，截距 $z$ 取得最小值 $z_{min}=1+1=2$． 此时距离取得最大值 $d_{max}=\frac{10-2}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域，点到直线的距离公式，线性规划求最值。

2. 核心方法：数形结合法，边界顶点代入比对法。

3. 避坑指南：去掉距离公式中的绝对值符号时，需准确判定可行域与目标直线的相对位置关系，避免符号弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中线性规划的经典应用，通过引入点到直线的距离公式，将纯粹的截距最值问题进行了几何包装。

5. 结论推广：对于任意平面可行域内的点到已知直线 $Ax+By+C=0$ 的距离最值问题，均可转化为平行移动该已知直线去切或碰可行域的几何边界顶点来求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-09 单-导数单调性