2007-山东卷理-16 填-基本不等式求最值

本题导读

本题将对数函数的图象特征与多元条件最值问题有机结合。通过求解对数函数的恒过定点锁定变量间的线性等量关系，再利用基本不等式（常数代换法）求解分式和的最小值。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 函数 $y={\log }_a(x+3)-1(a>0,a\ne 1)$ 的图象恒过定点 $A$，若点 $A$ 在直线 $mx+ny+1=0$ 上，其中 $mn>0$，则 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据对数性质，令真数等于 1 确定定点 $A$ 的坐标。

2. 将点 $A$ 代入直线方程得到关于 $m,n$ 的齐次等式，结合 $mn>0$ 确定 $m,n$ 同为正数，进而利用基本不等式“乘 1 法”求出分式表达式的最小值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

令对数函数的真数 $x+3=1$，解得 $x=-2$， 此时 $y={\log }_{a}1-1=-1$，则函数图象恒过定点 $A(-2,-1)$． 因为点 $A$ 在直线 $mx+ny+1=0$ 上， 所以 $-2m-n+1=0$，即 $2m+n=1$． 由 $mn>0$ 且 $2m+n=1$ 可知，$m>0,n>0$． 则 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\left(\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\right)(2m+n)=2+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}+2=4+\left(\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}\right)$． 因为 $m>0,n>0$，由基本不等式得： $\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}\ge 2\sqrt{\frac{n}{m}\cdot \frac{4m}{n}}=4$． 所以 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\ge 4+4=8$，当且仅当 $\frac{n}{m}=\frac{4m}{n}$ 即 $n=2m=\frac{1}{2}$ 时等号成立． 故 $\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$ 的最小值为 8．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的定点问题，利用基本不等式求解结构为 $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$ 的条件最值。

2. 核心方法：常数“1”的代换技巧与均值不等式配对。

3. 避坑指南：必须验证基本不等式等号成立的条件（$n=2m$），并确保 $m,n$ 的取值在对应正数区间内，防止产生无解的假最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题前半段源于对数函数基本图象性质，后半段源于必修 5 不等式章节中经典的条件最值常规公式训练。

5. 结论推广：已知 $px+qy=1(p,q,x,y>0)$，则分式和 $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}$ 的最小值恒为 $(\sqrt{ap}+\sqrt{bq}{)}^2$，当且仅当 $\frac{ap}{x^2}=\frac{bq}{y^2}$ 时等号成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-14 填-二倍角