2007-山东卷理-17 解-等比数列前 n 项公式

本题导读

本题主要考查根据数列前 $n$ 项和变式求解通项公式，以及“等差 $\times$ 等比”型数列的求和问题。第一问利用递推关系作差求解，第二问采用经典的错位相减法，侧重考查规范的代数变形与运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1+3a_2+3^2{a}_3+\cdots +3^{n-1}{a}_n=\frac{n}{3},n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$．

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项；

(2) 设 $b_n=\frac{n}{a_n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：将已知等式视为新数列 $\{3^{n-1}{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和，通过 $n$ 与 $n-1$ 的两式作差分离出通项 $a_n$，注意单独验证 $n=1$ 的情况。

2. 第二问：将 $a_n$ 代入得到 $b_n=n\cdot 3^n$，识别出其为等差数列与等比数列对应项相乘构成的结构，运用错位相减法，两边同乘公比 3 后错位相减求和。

✅【答案】

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（1）记左端为𝑆𝑛.当𝑛=1时，𝑎1=1

✍【详细解析】

Abstract

(1) 令 $T_n=a_1+3a_2+3^2{a}_3+\cdots +3^{n-1}{a}_n=\frac{n}{3}$． 当 $n=1$ 时，$T_1=a_1=\frac{1}{3}$． 当 $n\ge 2$ 时，$3^{n-1}{a}_n=T_n-T_{n-1}=\frac{n}{3}-\frac{n-1}{3}=\frac{1}{3}$， 解得 $a_n=\frac{1}{3\cdot 3^{n-1}}=\frac{1}{3^n}$． 因为 $n=1$ 时，$\frac{1}{3^1}=\frac{1}{3}$ 满足上式， 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\frac{1}{3^n}$．

(2) 由 (1) 得 $b_n=\frac{n}{a_n}=n\cdot 3^n$． 则 $S_n=1\cdot 3^1+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots +n\cdot 3^n$ ① 两边同乘以 3 得： $3S_n=1\cdot 3^2+2\cdot 3^3+\cdots +(n-1)\cdot 3^n+n\cdot 3^{n+1}$ ② ① - ② 得： $-2S_n=3^1+3^2+3^3+\cdots +3^n-n\cdot 3^{n+1}$ $-2S_n=\frac{3(1-3^n)}{1-3}-n\cdot 3^{n+1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}-n\cdot 3^{n+1}$ $-2S_n=\frac{1-2n}{2}\cdot 3^{n+1}-\frac{3}{2}$ 解得 $S_n=\frac{2n-1}{4}\cdot 3^{n+1}+\frac{3}{4}$． 故数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由数列前 $n$ 项和求通项的方法推广，差比积数列的错位相减法，等比数列求和公式。

2. 核心方法：两式相减分离通项，错位对齐相减消项。

3. 避坑指南：第一问求出通项后必须将 $n=1$ 代入验证是否能合并；第二问错位相减后，中间项合并时项数易数错（共有 $n-1$ 项），且最后一项的负号 $-n\cdot 3^{n+1}$ 极易漏掉或错写成加号。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中等差数列与等比数列综合应用的核心主干例题，是高考对数列常规求和方法考查的最标准形式。

5. 结论推广：对于通项为 $c_n=(An+B)q^n(q\ne 1)$ 的数列，其前 $n$ 项和均可用错位相减法转化为以 $q$ 为公比的等比数列求和，最终求和结果均呈现为 $(Cn+D)q^{n+1}+E$ 的代数形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 22.05 错位问题

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-17 解-数列通项