2007-广东卷文-21 解-含参二次函数区间零点

本题导读

本题考查二次函数的零点。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)）已知 $a$ 是实数，函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 2 x - 3 - a$ ．如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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端点： $f (- 1) = a - 5$ ， $f (1) = a - 1$ ； $f (0) = - 3 - a$ 。

$a ⩾ 1$ ： $1 ⩽ a ⩽ 5$ 时 $f (- 1) ⩽ 0 ⩽ f (1)$ ； $a > 5$ 时 $f (0) = - 3 - a < 0 < f (1)$ ，均有零点。

$0 ⩽ a < 1$ ：开口向上，两端点值均负，而开口向上的二次函数在闭区间上的最大值在端点取得 ⟹ 区间内恒负，无零点。

$a < 0$ ：开口向下，顶点 $x_{0} = - \frac{1}{2 a} > 0$ ； $- \frac{1}{2} < a < 0$ 时 $x_{0} > 1$ ， $f$ 在 $[- 1, 1]$ 增，最大 $f (1) = a - 1 < 0$ ，无零点。

$a ⩽ - \frac{1}{2}$ ： $x_{0} \in (0, 1]$ ，最大值 $f (x_{0}) = - 3 - a - \frac{1}{2 a}$ ，需 $- 3 - a - \frac{1}{2 a} ⩾ 0 ⟺ 2 a^{2} + 6 a + 1 ⩾ 0 ⟺ a ⩽ \frac{- 3 - 7}{2}$ 。

综合得 $a ⩾ 1$ 或 $a ⩽ \frac{- 3 - 7}{2}$ 。

✅【答案】

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$a ⩾ 1$ 或 $a ⩽ \frac{- 3 - 7}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

记 $f_{a} (x) = 2 a x^{2} + 2 x - 3 - a$ ，则 $f_{a} (- 1) = a - 5$ ， $f_{a} (1) = a - 1$ ， $f_{a} (0) = - 3 - a$ ．（一）当 $1 ⩽ a ⩽ 5$ 时， $f_{a} (- 1) ⩽ 0 ⩽ f_{a} (1)$ ，由连续函数的零点存在定理知 $[- 1, 1]$ 内有零点；当 $a > 5$ 时， $f_{a} (0) = - 3 - a < 0$ 而 $f_{a} (1) = a - 1 > 0$ ，由零点存在定理知区间内也有零点．故 $a ⩾ 1$ 时必有零点．（二）当 $0 < a < 1$ 时，图象开口向上，且 $f_{a} (- 1) = a - 5 < 0$ ， $f_{a} (1) = a - 1 < 0$ ；开口向上的二次函数在闭区间上的最大值在端点处取得，两端均为负，故区间上 $f_{a} < 0$ 恒成立，无零点．当 $a = 0$ 时 $f (x) = 2 x - 3$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递增且最大值 $f (1) = - 1 < 0$ ，无零点．（三）当 $a < 0$ 时，图象开口向下，顶点横坐标 $x_{0} = - \frac{2}{4 a} = - \frac{1}{2 a} > 0$ ．若 $- \frac{1}{2} < a < 0$ ，则 $x_{0} > 1$ ，函数在 $[- 1, 1]$ 上单调递增，最大值 $f_{a} (1) = a - 1 < 0$ ，无零点．若 $a ⩽ - \frac{1}{2}$ ，则 $x_{0} \in (0, 1]$ ，区间上的最大值为 $f_{a} (x_{0}) = 2 a \cdot \frac{1}{4 a ^{2}} + 2 \cdot (- \frac{1}{2 a}) - 3 - a = - 3 - a - \frac{1}{2 a}$ ．存在零点当且仅当 $f_{a} (x_{0}) ⩾ 0$ ，即 $- 3 - a - \frac{1}{2 a} ⩾ 0$ ；两边乘以负数 $2 a$ 并整理，得 $2 a^{2} + 6 a + 1 ⩾ 0$ ，解得 $a ⩽ \frac{- 3 - 7}{2}$ 或 $a ⩾ \frac{- 3 + 7}{2}$ ．因 $\frac{- 3 + 7}{2} \approx - 0.18 > - \frac{1}{2}$ ，与 $a ⩽ - \frac{1}{2}$ 的交集为空，故此情形下存在零点的范围为 $a ⩽ \frac{- 3 - 7}{2}$ ．综上， $a$ 的取值范围是 $(- \infty, \frac{- 3 - 7}{2}] \cup [1, + \infty)$ ．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参二次函数区间零点

核心方法：端点函数值加开口方向与顶点位置分类； $a ⩽ - \frac{1}{2}$ 时解 $- 3 - a - \frac{1}{2 a} ⩾ 0$

避坑指南：两边乘负数 $2 a$ 不等号反向； $a ⩾ 1$ 由零点存在定理一步到位，别在 $a ⩾ 1$ 内再细分丢解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参二次函数在闭区间上的零点问题综合零点存在定理与最值，2009 广东文 21 二次函数零点同题源

结论推广：开口向上时闭区间最大值在端点、开口向下时最大值在顶点或端点，最大值非负即有零点

方法推广：含参二次函数区间根问题主线：端点值 + 开口方向 + 顶点位置，三要素分类合并

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

20.16 零点问题

类题演练(Links)

2015-广东卷文-21 解-函数零点讨论

2009-广东卷文-21 解-二次函数零点

2006-广东卷-07 单-反函数图象求根

2010-天津卷文-04 单-零点所在区间

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