2007-广东卷理-12 填-空间异面直线计数模型

本题导读

本题是一道融立体几何空间想象力与排列组合于一体的经典高难度压轴填空题。第一空考查 $n$ 棱锥顶点数确定直线的总组合数；第二、三空考查空间中异面直线的对数计数。核心在于正确区分侧棱、底面边以及底面对角线之间的空间互斥排他关系，总结出关于 $n$ 的通用递推解析式。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 如果一个凸多面体是 $n$ 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条. 这些直线中共有 $f(n)$ 对异面直线，则 $f(4)=$________； $f(n)=$________. (答案用数字或 $n$ 的解析式表示)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空：求确定的直线总数：

• $n$ 棱锥共有 $1$ 个顶点（锥顶）和 $n$ 个底面顶点，总计 $n+1$ 个顶点。
• 任意两点确定一条直线，且 $n+1$ 个顶点中任意三点均不共线，故直线总数等于从 $n+1$ 中选 2 的组合数： ${\text{C}}_{n+1}^2=\frac{n(n+1)}{2}$。

2. 第二空：求 $f(4)$ 的值（以四棱锥为例）：

• 四棱锥有 5 个顶点。确定的直线总数为 ${\text{C}}_5^2=10$ 条（4条侧棱 + 4条底面边 + 2条底面对角线）。
• 异面直线的配对法则：
• 组合一（侧棱与底面边）：每条侧棱与底面不相交的 2 条边构成异面，共 $4\times 2=8$ 对。慢着，两两组合会重复算一次吗？一条侧棱和一条底面边，算是一对。
• 组合二（侧棱与底面对角线）：4条侧棱与 2条底面对角线。每条对角线与不相交的 2条侧棱异面，共 $2\times 2=4$ 对。
• 组合三（侧棱与侧棱）：四棱锥中任意两条不相交的侧棱（对号侧棱）互为异面直线，共有 2 对。
• 总数 $f(4)=8+4+2=14$ 对。

✅【答案】

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$\frac{n(n+1)}{2}$ ； $12$ ； $\frac{n(n-1)(n-2)}{2}$ (或 $3{\text{C}}_n^3$)

✍【详细解析】

Abstract

• 将直线归纳为三类： $n$ 条侧棱、 $n$ 条底面边、 ${\text{C}}_n^2-n=\frac{n(n-3)}{2}$ 条底面多边形对角线。

• 异面直线对只可能由以下三种互斥配对产生：

• 类型①：侧棱与底面边/对角线（即底面直线） 任何一条底面直线（共有 ${\text{C}}_n^2$ 条），与其不相交的侧棱互为异面。由于一条底面直线由 2 个底面顶点确定，这 2 个顶点引出的 2 条侧棱与其相交，其余的 $n-2$ 条侧棱均与其异面。 所以此类型贡献对数为： ${\text{C}}_n^2\times (n-2)$。

• 类型②：侧棱与侧棱 任取两条不相交的侧棱，它们确定 2 个不同的底面顶点。从 $n$ 个底面顶点中任取 2 个不相邻的顶点组，即对应侧棱异面。组合数为 ${\text{C}}_n^2-n$（底面对角线数）。 慢着，任取两条侧棱必然异面吗？只要它们在底面的顶点不相同，因为都过锥顶，它们必然相交于锥顶！所以侧棱与侧棱之间绝不可能异面！

• 重构计数模型：

• 所有直线分为两类：包含锥顶的直线（ $n$ 条侧棱）和不含锥顶的直线（底面 ${\text{C}}_n^2$ 条直线）。

• 包含锥顶的直线之间（侧棱与侧棱）全部相交于锥顶，不可能异面。

• 不含锥顶的直线之间（底面直线与底面直线）全部共面于底面，不可能异面。

• 因此，异面直线必须且只能由“一条侧棱”与“一条底面直线”组合产生！

• 选定一条底面直线（共 ${\text{C}}_n^2$ 条），它占用了 2 个底面顶点。棱锥的 $n$ 条侧棱中，有 2 条侧棱连向这两个顶点（与之相交），其余的 $n-2$ 条侧棱与其既不平行也不相交，全部互为异面直线。

• 故总对数完美通用通项为： $f(n)={\text{C}}_n^2\times (n-2)=\frac{n(n-1)(n-2)}{2}=3{\text{C}}_n^3$。

✍ 〖详细解析〗

解：对于一个标准的凸 $n$ 棱锥：

• 第一空： $n$ 棱锥拥有 1 个隔离的锥顶，以及底面多边形的 $n$ 个顶点，累计共有 $n+1$ 个空间顶点。 由于在凸棱锥中，任意三点均不共线，任意两点可以唯一确定一条直线。 因此，所有顶点所确定的空间直线总数等于从 $n+1$ 个顶点中任取 2 个点的组合数： $\text{直线总数}={\text{C}}_{n+1}^2=\frac{(n+1)n}{2}$

• 第三空（先推导通用解析式 $f(n)$）： 我们将所有确定的 $\frac{n(n+1)}{2}$ 条直线按照是否经过“锥顶”严格划分为两大互斥阵营：

1. 过锥顶的直线（侧棱系）：共有 $n$ 条直线。由于它们全部在锥顶处相交，因此侧棱与侧棱之间绝不存在异面直线。
2. 不过锥顶的直线（底面直线系）：所有顶点均分布在底面多边形上，共有 ${\text{C}}_n^2$ 条直线。由于它们全部共同包含在底面这同一个平面内部，因此底面直线与底面直线之间也绝不存在异面直线。

由此得出极其关键的数模判定：该多面体中的异面直线对，必须且只能由“一条侧棱”与“一条底面直线”交叉配对产生。

现在我们采用分步计数原理进行配对：

• 第一步：在底面组成的 ${\text{C}}_n^2$ 条直线中任意抽取一条直线。这条直线由底面的 2 个顶点确定。
• 第二步：考查 $n$ 棱锥的 $n$ 条侧棱。其中有 2 条侧棱分别连接上述的 2 个底面顶点，从而与该底面直线在空间中相交；其余的 $n-2$ 条侧棱与该底面直线既不相交也不平行，在空间中全部构成异面直线。

根据乘法计数原理，总共能产生的异面直线对数 $f(n)$ 表达式为： $f(n)={\text{C}}_n^2\cdot (n-2)=\frac{n(n-1)}{2}\cdot (n-2)=\frac{n(n-1)(n-2)}{2}$ (也可写为组合数简式 $3{\text{C}}_n^3$)

• 第二空：将 $n=4$ 代入求得的通用解析式 $f(n)$ 中： $f(4)=\frac{4\times (4-1)\times (4-2)}{2}=\frac{4\times 3\times 2}{2}=12$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体顶点线数基本功（ ${\text{C}}_{n+1}^2$）、空间异面直线的本质定义与排他分类计数思想。
2. 核心方法：过顶点与面内线二级阵营分类法、齐次多项式因式化简法。
3. 避坑指南：

• 属于难度极高、极易数重或数漏的立体几何压轴填空。
• 最大的天然陷阱是误认为侧棱与侧棱之间、底面对角线之间存在异面。
• 必须要建立高度抽象的阵营思想：同过一顶点的线必相交，同在底面的线必共面。把这两类无效干扰强行刨除后， 异面问题瞬间降维转化为简单的“一条侧棱 $\times$ 一条不相交底面线”的一阶分布问题， 即可实现零差错快速通关。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥的几何性质、排列组合与计数原理是广东卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是棱锥的几何性质、排列组合与计数原理的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用正面网格计数法、递推归纳分析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 22.01 计数原理、排列与组合
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-17 填-奇偶相邻排列
• 2008-浙江卷理-16 填-排列组合
• 2008-重庆卷理-16 填-排列组合