2007-广东卷理-13 填-点到直线距离公式

本题导读

本题考查直线与圆的参数方程向直角坐标一般方程的转化，以及点到直线距离的计算。核心在于利用代数加减消去直线参数 $t$，利用平方和恒等式消去圆的参数 $\theta$，从而在直角坐标系下直接利用公式求解。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t+3\\ y=3-t\end{array}$ (参数 $t\in \mathbf{R}$)，圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=2\sin \theta +2\end{array}$ (参数 $\theta \in [0,2\pi ]$)，则圆 $C$ 的圆心坐标为________，圆心到直线 $l$ 的距离为________。

🔍【思路分析】

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1. 化简圆的参数方程求圆心：

• 将圆的参数方程移项变形为 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y-2=2\sin \theta \end{array}$。
• 利用同角三角函数平方和公式 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 消去参数 $\theta$，直出标准圆方程并提取圆心。

2. 化简直线的参数方程：

• 观察两个方程： $x=t+3,y=3-t$。
• 两式直接相加即可消去参数 $t$，整理出直线的一般式方程。

3. 计算距离：利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 代入求解。

✅【答案】

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$(0,2)$ ； $2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先处理圆 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y=2\sin \theta +2\end{array}$。 将含有三角函数的项独立孤立到等式一侧： $\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta \\ y-2=2\sin \theta \end{array}$ 两式两边分别平方后相加： $x^2+(y-2{)}^2=(2\cos \theta {)}^2+(2\sin \theta {)}^2$ $x^2+(y-2{)}^2=4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )$ 将 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 代入，得到圆 $C$ 的直角坐标标准方程： $x^2+(y-2{)}^2=4$ 由标准方程可知，圆 $C$ 的圆心坐标为： $(0,2)$

其次处理直线 $l$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t+3\\ y=3-t\end{array}$。 将两个方程的左边与右边分别相加以消去参数 $t$： $x+y=(t+3)+(3-t)$ $x+y=6$ 移项化为直线的一般式方程： $x+y-6=0$

要求圆心 $(0,2)$ 到直线 $x+y-6=0$ 的距离 $d$，套用点到直线的距离公式： $d=\frac{|1\times 0+1\times 2-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|2-6|}{\sqrt{2}}=\frac{|-4|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的参数方程标准形式 $\{\begin{array}{l}x=x_0+r\cos \theta \\ y=y_0+r\sin \theta \end{array}⟹\text{圆心为}(x_0,y_0)$、直线加减消参法、点到直线距离公式。
2. 核心方法：平方和消参法、直角坐标转化法。
3. 避坑指南：

• 提取圆心坐标时，注意圆参数方程中 $y=2\sin \theta +2$ 的常数项符号。移项后为 $y-2=2\sin \theta$， 对应的圆心纵坐标是 $+2$ 而不是 $-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》中关于参数方程与普通方程互化的基础核心考查题。

2. 结论推广: 任意形如 $\{\begin{array}{l}x=a+t\cos \alpha \\ y=b+t\sin \alpha \end{array}$ 的方程均代表过点 $(a,b)$ 倾斜角为 $\alpha$ 的直线；形如 $\{\begin{array}{l}x=x_0+r\cos \theta \\ y=y_0+r\sin \theta \end{array}$ 的方程均代表以 $(x_0,y_0)$ 为圆心、 $r$ 为半径的圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-22 解-圆的性质与相似