2007-新课标卷文-22 解-四点共圆与圆周角定理

本题导读

本题考查圆的切线性质。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 如图，已知 $AP$ 是 $\odot O$ 的切线，$P$ 为切点，$AC$ 是 $\odot O$ 的割线，与 $\odot O$ 交于 $B$，$C$ 两点，圆心 $O$ 在 $\angle PAC$ 的内部，点 $M$ 是 $BC$ 的中点． （1）证明 $A$，$P$，$O$，$M$ 四点共圆； （2）求 $\angle OAM+\angle APM$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. $M$ 是弦 $BC$ 中点 $\Rightarrow OM\perp BC\Rightarrow OM\perp AM$，$\angle AMO=90^{\circ }$；切线 $\Rightarrow OP\perp AP$，$\angle APO=90^{\circ }$。
2. 两个直角都对着线段 $AO$：$A$、$P$、$O$、$M$ 在以 $AO$ 为直径的圆上。
3. （2）同弧 $AM$ 所对圆周角相等：$\angle APM=\angle AOM$；Rt$△AOM$ 中两锐角互余即得结论。

✅【答案】

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（2）$\angle OAM+\angle APM=90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）连接 $OM$．因为 $M$ 是弦 $BC$ 的中点，由垂径定理 $OM\perp BC$；又 $A$，$B$，$C$ 共线，所以 $OM\perp AM$，$\angle AMO=90^{\circ }$． 因为 $AP$ 是 $\odot O$ 的切线，所以 $OP\perp AP$，$\angle APO=90^{\circ }$． 于是 $\angle AMO=\angle APO=90^{\circ }$，$A$、$P$、$O$、$M$ 四点都在以 $AO$ 为直径的圆上，即四点共圆． （2）由圆心 $O$ 在 $\angle PAC$ 内部，点 $P$、$O$ 在直线 $AM$ 的同侧，故在同圆中同弧 $AM$ 所对的圆周角相等：$\angle APM=\angle AOM$． 在 Rt$△AOM$ 中（$\angle AMO=90^{\circ }$），$\angle OAM+\angle AOM=90^{\circ }$， 所以 $\angle OAM+\angle APM=\angle OAM+\angle AOM=90^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四点共圆与圆周角定理

核心方法：双直角定共圆 + 同弧圆周角转移

避坑指南：两个直角 $\angle AMO$、$\angle APO$ 共同对着 $AO$，故 $AO$ 是共圆的直径；同侧才能用同弧圆周角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆周角定理逆定理是四点共圆判定的基本工具。

结论推广：对角互补或同侧等角，都可判定四点共圆。

方法推广：证共圆先找两个对同边的直角，再转移角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练(Links)

• 2011-新课标卷文-22 解-相交弦与四点共圆
• 2015-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲