2007-江西卷理-02 单-不定式极限求法

本题导读

本题考查函数在某一点处的极限。由于直接代入属于 $\frac{0}{0}$ 型不定式，核心在于通过因式分解消去分母的零因子后再求极限。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^3-x^2}{x-1}$ ()

A. 等于 0　　　　B. 等于 1　　　　C. 等于 3　　　　D. 不存在

🔍【思路分析】

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1. 当 $x\to 1$ 时，分子 $x^3-x^2\to 0$，分母 $x-1\to 0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型极限。

2. 分子提取公因式 $x^2$，化为 $x^2(x-1)$。

3. 在 $x\to 1$ 但 $x\ne 1$ 的条件下，约去非零因子 $(x-1)$，直接代入求值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：首先对极限表达式的分子进行因式分解，提取公因式 $x^2$： $\frac{x^3-x^2}{x-1}=\frac{x^2(x-1)}{x-1}$

因为 $x\to 1$ 表示 $x$ 无限趋近于 1 但 $x\ne 1$，所以零因子 $x-1\ne 0$。 分子与分母同时约去 $(x-1)$ 项： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^3-x^2}{x-1}={\lim }_{x\to 1}{x}^2$

将 $x=1$ 直接代入连续函数 $y=x^2$ 中： ${\lim }_{x\to 1}{x}^2=1^2=1$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式分式极限、零因子的消除。
2. 核心方法：因式分解法。
3. 避坑指南：

• 看到分母为 0 切忌盲目认为极限“不存在”，必须先审视分子是否同样为 0，并通过消元转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高等数学微积分中导数定义的最初步极限形态。此式实质上等价于求函数 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 附近某处的割线变化率。

2. 结论推广: 对于 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0{x}^{n-1}}{x-x_0}$，提取 $x^{n-1}$ 后约分，结果恒为 $x_0^{n-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

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