2007-江西卷理-12 单-充分条件必要条件判定

本题导读

本题考查利用导数求函数在开区间内单调递增的参数范围，并在此基础上进行常用逻辑用语中充要条件的真伪性判定。核心在于将“单调递增”等价转化为“一阶导数大于或等于 0 恒成立”， 进而利用分离参数法求出命题 $p$ 的精确边界。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 设 $p:f(x)={\text{e}}^x+\ln x+2x^2+mx+1$ 在 $(0,+\infty )$ 内单调递增， $q:m\ge -5$，则 $p$ 是 $q$ 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

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✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

• 函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内单调递增， 等价于其导数在该区间恒大于或等于 0（且不恒为 0）： $f^{\prime }(x)={\text{e}}^x+\frac{1}{x}+4x+m\ge 0(x>0)$
• 分离参数得 $m\ge -\left({\text{e}}^x+\frac{1}{x}+4x\right)$。令 $g(x)={\text{e}}^x+\frac{1}{x}+4x(x>0)$， 则命题 $p$ 等价于 $m\ge -g(x{)}_{\min }$
• 求 $g(x)$ 的最小值：$g^{\prime }(x)={\text{e}}^x-\frac{1}{x^2}+4$。令 $g^{\prime }(x)=0$ 得 ${\text{e}}^x+4=\frac{1}{x^2}$。由于 ${\text{e}}^x+4$ 递增、$\frac{1}{x^2}$ 递减， 在 $(0,1)$ 内有唯一零点 $x_0$， 且易验 $g^{\prime }(0.4)<0,g^{\prime }(0.5)>0$， 故 $x_0\in (0.4,0.5)$。 在极小值点处 $\frac{1}{x_0^2}={\text{e}}^{x_0}+4$， 于是 $g(x_0)={\text{e}}^{x_0}+\frac{1}{x_0}+4x_0=\left(\frac{1}{x_0^2}-4\right)+\frac{1}{x_0}+4x_0$ 取 $x_0\approx 0.425$ 估算：$g(x_0)\approx 1.53+2.35+1.70\approx 5.58$， 故 $g(x{)}_{\min }\approx 5.58$， 从而 $-g(x{)}_{\min }\approx -5.58<-5$。
• 记 $P=[-g(x{)}_{\min },+\infty )\approx [-5.58,+\infty )$， $q$ 的解集 $Q=[-5,+\infty )$。 因为 $-5.58<-5$， 所以 $Q=[-5,+\infty )\subset P=[-5.58,+\infty )$。
• 由集合包含关系：$m\in Q⟹m\in P$（即 $q⟹p$ 为真）；但 $m\in P/⟹m\in Q$（例如取 $m=-5.3\in P$ 却 $-5.3\notin Q$）， 即 $p/⟹q$。 故 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单调性向导数恒成立不等式转化、分离参数最值法、超越函数极值点的零点区间估算法、充分必要条件的判定。
2. 核心方法：分离参数法、区间估算放缩法。
3. 避坑指南：

• 本题最大的难点和拦路虎在于极值点 $x_0$ 无法通过初等代数方法求出精确解。很多同学在算到 ${\text{e}}^x+4=\frac{1}{x^2}$ 时会卡死并怀疑自己算错。一定要敢于动用“隐零点估算法”。其实我们根本不需要算出 $x_0$ 的精确值，只要通过代入 $x=0.4$ 与 $x=0.5$ 判定出 $g(x_0)\approx 5.58>5$，从而 $-g(x_0)\approx -5.58<-5$，即可确定 $P=[-5.58,+\infty )\supset Q=[-5,+\infty )$，进而利用子集包含关系锁定“必要不充分条件”（选项 B）。注意：阈值 $-g(x_0)$ 实际小于 $-5$，这与直觉“$g(x_0)<5$”相反，正是本题易错点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利用导数研究函数的单调性、常用函数的导数计算（指数、对数、多项式）是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是利用导数研究函数的单调性、常用函数的导数计算（指数、对数、多项式）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用导数大于或等于 0 恒成立法、集合包含特征比对法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 04.01 指数与对数运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2008-北京卷理-03 单-函数
• 2008-大纲卷I理-09 单-不等式