2007-江西卷理-13 填-函数值域对数函数单调性

本题导读

本题考查反函数的几何特征。根据“原函数的值域即为反函数的定义域”这一根本对应性质，将求反函数定义域的问题等价转化为求解原函数在限定区间内的新值域。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 设函数 $y=4+{\log }_2(x-1)$ ($x\ge 3$)，则其反函数的定义域为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据互为反函数的充要数学性质：原函数 $y=f(x)$ 的定义域是反函数 $f^{-1}(x)$ 的值域；原函数 $y=f(x)$ 的值域即为反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域。

2. 题目要求反函数的定义域， 核心步骤是求解原函数 $y=4+{\log }_2(x-1)$ 在自变量 $x\ge 3$ 条件下的值域范围。

3. 运用对数函数的单调性， 当底数 $2>1$ 时函数单调递增， 直接代入端点值求极小值。

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$[5,+\infty )$ （或 $x\ge 5$）

✍【详细解析】

Abstract

解：根据互为反函数的定义域与值域的对调映射关系， 函数 $y=4+{\log }_2(x-1)$ ($x\ge 3$) 的值域即为其对应反函数的定义域。

因为对数函数底数为 2， 满足 $2>1$， 故基本函数 $y={\log }_{2}t$ 在定义域内为严格单调递增函数。 由于复合内层项 $t(x)=x-1$ 是关于 $x$ 的递增射线， 所以， 原函数 $y=4+{\log }_2(x-1)$ 在区间 $[3,+\infty )$ 上也是一个严格单调递增的连续函数。

当自变量取得全域绝对全域极小值 $x=3$ 时， 对应的函数值取得最小值： $y_{\text{min}}=4+{\log }_2(3-1)=4+{\log }_{2}2=4+1=5$

随着自变量 $x\to +\infty$， 函数值 $y\to +\infty$。 因此， 原函数的值域范围为： $y\in [5,+\infty )$

根据映射对调法则， 原函数的值域正是其反函数的定义域。

故答案为： $[5,+\infty )$ （或 $x\ge 5$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数与反函数的定义域/值域对调法则、对数函数的单调性区间。
2. 核心方法：互换域法。
3. 避坑指南：

• 切忌盲目地去大费周章把反函数的解析式 $x=2^{y-4}+1$ 强行反解出来。虽然这道题解析式容易反解， 但在考场上解方程会消耗大量不必要的时间。牢记“反定义域=原值域”可以实现直接化简秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数的概念与性质、函数的值域与对数函数单调性是江西卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是反函数的概念与性质、函数的值域与对数函数单调性的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用映射转换法（互换域法），注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2008-上海卷理-04 填-函数
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域