2007-浙江卷文-09 单-向量模的不等式

本题导读

本题考查向量的模，以及数量积。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 若非零向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|$，则 ()

A. $|2\mathbf{b}|>|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|$　　　　　　　　　　　　　B. $|2\mathbf{b}|<|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|$

C. $|2\mathbf{a}|>|2\mathbf{a}-\mathbf{b}|$　　　　　　　　　　　　　D. $|2\mathbf{a}|<|2\mathbf{a}-\mathbf{b}|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 条件平方：$|\mathbf{a}{|}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{b}{|}^2$，得 $|\mathbf{a}{|}^2=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
2. 比较 A/B：$|\mathbf{a}-2\mathbf{b}{|}^2-|2\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2-4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}{|}^2-2|\mathbf{a}{|}^2=-|\mathbf{a}{|}^2<0$。
3. 故 $|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|<|2\mathbf{b}|$，选 A。（C/D 同法可排除：$|2\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2-|2\mathbf{a}{|}^2=4|\mathbf{b}{|}^2-6\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，符号不定。）

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

将 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|$ 两边平方：$|\mathbf{a}{|}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{b}{|}^2$，得 $|\mathbf{a}{|}^2=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\frac{|\mathbf{a}{|}^2}{2}>0$． 比较 $|2\mathbf{b}|$ 与 $|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|$： $|\mathbf{a}-2\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2-4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4|\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2-2|\mathbf{a}{|}^2+4|\mathbf{b}{|}^2=4|\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2<4|\mathbf{b}{|}^2=|2\mathbf{b}{|}^2,$ 所以 $|2\mathbf{b}|>|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|$，选 A． 至于 C、D：$|2\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2=4|\mathbf{a}{|}^2-4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2=2|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2$，故 $|2\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2-|2\mathbf{a}{|}^2=|\mathbf{b}{|}^2-2|\mathbf{a}{|}^2$，其符号随 $|\mathbf{a}|$ 与 $|\mathbf{b}|$ 的大小关系而变，故 C、D 都不一定成立． 故选 A． 【注】原卷 PDF 文本层选项 (A) 与 (B) 同形（均印"$<$"），系排印缺失；依官方答案节，(A) 为"$|2\mathbf{b}|>|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|$"，据答案 A 按此录入。 （方法点睛：向量模的条件等式，先平方转化成数量积关系，再对选项平方作差。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模的不等式

核心方法：条件等式两边平方化成数量积关系 $|\mathbf{a}{|}^2=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，选项平方作差

避坑指南：向量模比较不能心算方向，平方作差才严谨；作差后符号是否恒定要落实到底

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模的条件等式，平方是第一反应；本题条件平方后数量积可完全消去

结论推广：$|\mathbf{a}-2\mathbf{b}{|}^2-|2\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2-4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$：与条件 $|\mathbf{a}{|}^2=2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 联用即得负值

方法推广：几何背景：条件 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|$ 说明 $\mathbf{b}$ 是 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 构成三角形的中垂关系，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 夹角为锐角且 $\cos \theta =\frac{|\mathbf{a}|}{2|\mathbf{b}|}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2026-北京卷-06 单-向量的模
• 2008-天津卷文-14 填-向量减法与模
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