2007-浙江卷理-05 单-概率性质

本题导读

本题主要考查正态分布曲线的对称性特征。利用正态曲线关于均值 $\mu$ 对称的几何性质，将已知区间的概率转化为对应对称区间的概率，旨在考查数形结合思想与基础概念掌握。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(2,{\sigma }^2)$，$P(\xi \le 4)=0.84$，则 $P(\xi \le 0)=$()

A. 0.16　　　　　B. 0.32　　　　　C. 0.68　　　　　D. 0.84

🔍【思路分析】

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1. 由正态分布 $N(2,{\sigma }^2)$ 得出正态曲线的对称轴为 $x=2$；
2. 利用对称轴两边对称区域概率相等的特性，将 $P(\xi \le 0)$ 转化为与其对称的右侧尾部区域概率 $P(\xi \ge 4)$ 进行求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为随机变量 $\xi \sim N(2,{\sigma }^2)$，所以正态曲线关于直线 $x=2$ 对称。 由于 0 与 4 关于 2 对称，根据对称性可得： $P(\xi \le 0)=P(\xi \ge 4)$ 又因为 $P(\xi \le 4)=0.84$，所以： $P(\xi \ge 4)=1-P(\xi \le 4)=1-0.84=0.16$ 因此，$P(\xi \le 0)=0.16$。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的图形关于 $x=\mu$ 对称，且全域总概率为 1。
2. 核心方法：对称转化法。恒有 $P(\xi \le \mu -a)=P(\xi \ge \mu +a)=1-P(\xi \le \mu +a)$。
3. 避坑指南：切忌盲目尝试代入复杂的正态分布密度函数公式去积分计算，必须紧扣“关于 $\mu$ 对称”这一几何直观。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于正态分布板块的常考送分题，直接考查高斯分布（Normal Distribution）几何图形特征，源自教材基础性质推论。
2. 结论推广：若 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则对任意实数 $x$，恒有 $P(\xi <\mu -x)+P(\xi <\mu +x)=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-06 单-几何体结构
• 2021-新高考I卷-04 单-三角函数单调性