2007-浙江卷理-08 单-函数极值导数零点关系

本题导读

本题主要考查函数图象与其导函数图象的关系。解题核心在于通过导数的几何意义建立宏观联系：原函数的单调性（增减）决定导函数的正负（x轴上下方），原函数的极值点（波峰波谷）决定导函数的零点（与x轴的交点），从而通过定性分析排除不可能的选项。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 设 $f^{\prime }(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，将 $y=f(x)$ 和 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用单调性判定：若原函数在某区间递增，则该区间内导函数图象必须完全在 $x$ 轴上方；若递减，则在 $x$ 轴下方。
2. 利用极值点判定：若原函数在某点取得局部极大值或极小值（即图象的波峰或波谷），且该点可导，则导函数在该点的值必为 0，即导函数图象必在此横坐标处穿过 $x$ 轴。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于 (A)：若开口向上的抛物线为原函数 $f(x)=x^2$，其在 $x>0$ 时单调递增，对应导数应为正；在 $x<0$ 时单调递减，对应导数应为负。此时通过原点的正比例直线 $y=2x$ 恰好在 $x>0$ 时大于 0，在 $x<0$ 时小于 0，完全吻合，可能正确。

对于 (B)：若单调递增的曲线为原函数 $f(x)$，则其导数 $f^{\prime }(x)$ 必须恒大于 0。图中另一条单调递减的曲线始终在 $x$ 轴上方（恒大于 0），且由于 $f(x)$ 的增长速度随 $x$ 增大而变缓（切线斜率减小），对应的导函数单调递减，完全吻合（例如 $f(x)=1-e^{-x}+c,f^{\prime }(x)=e^{-x}$），可能正确。

对于 (C)：若下方的曲线为原函数 $f(x)$，其始终单调递增，则其导数 $f^{\prime }(x)$ 必须恒大于 0。图中上方的曲线始终在 $x$ 轴上方，且由于 $f(x)$ 随 $x$ 增大而增长变快（切线斜率增大），对应的导函数单调递增，完全吻合（例如 $f(x)=e^{2x}-1,f^{\prime }(x)=2e^{2x}$），可能正确。

对于 (D)：图中两条波浪状曲线均存在多个波峰和波谷（即极值点）。若其中一条曲线为原函数 $f(x)$，则在其极值点对应的横坐标处，另一条作为导函数 $f^{\prime }(x)$ 的曲线必须与 $x$ 轴相交（即满足 $f^{\prime }(x)=0$）。然而图中两条曲线均各自完全位于 $x$ 轴的一侧（一条恒正，一条恒负/非正），均不与 $x$ 轴相交，即不存在任何零点。因此，任何一条曲线都不可能是另一条曲线的导函数，不可能正确。

故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导函数的正负号决定原函数的单调性；原函数的极值点（导数存在时）对应导函数的零点。
2. 核心方法：特征点与特殊区间检验法。辨析这类图象题时，优先观察“波峰波谷”是否对齐“x轴交点”，其次观察“增减趋势”是否对齐“x轴上下方”。
3. 避坑指南：切忌盲目尝试拼凑复杂的具体函数解析式，只需抓住“极值点对应零点”这一最强的几何图象约束特征，即可快速秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于微积分基础理论定性分析的经典题型，旨在考查对导数几何意义的直观想象与逻辑对齐能力。
2. 结论推广：对于任何在区间 $I$ 内可导的函数 $f(x)$，若其在该区间内具有内部极值点 $x_0$，则导函数图象在该点处必有 $f^{\prime }(x_0)=0$。若在候选图象中导函数未能在该位置截断 $x$ 轴，则该图象组合必然不成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-12 单-导数综合
• 2020-全国卷III理-08 单-三角形面积