2007-浙江卷理-13 填-不等式解集

本题导读

本题主要考查一元一次绝对值不等式的解法。可以通过移项后利用绝对值的几何意义公式化简，也可以采用零点分段分类讨论的通用方法去除绝对值符号，考查基本的代数化简与逻辑划分能力。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 不等式 $|2x-1|-x<1$ 的解集是$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（公式法）：将不等式变形为 $|2x-1|<x+1$。当右侧 $x+1>0$ 时，直接转化为不等式组 $-(x+1)<2x-1<x+1$，解不等式组取交集。
2. 方法二（分类讨论法）：找绝对值内部的零点 $x=\frac{1}{2}$，将实数集分为 $x\ge \frac{1}{2}$ 和 $x<\frac{1}{2}$ 两类情况，分别去掉绝对值符号后求解，最后取并集。

点击查看答案

$\{x\mid 0<x<2\}$（或 $(0,2)$）

✍【详细解析】

Abstract

解： 将原不等式 $|2x-1|-x<1$ 移项变形得： $|2x-1|<x+1$ 根据绝对值的几何性质，等价于以下不等式组： $\{\begin{array}{l}2x-1<x+1\\ 2x-1>-(x+1)\end{array}$

解第一个不等式 $2x-1<x+1$： 移项得 $x<2$。

解第二个不等式 $2x-1>-x-1$： 移项整理得 $3x>0⟹x>0$。

求两个范围的交集，得： $0<x<2$ 用解集形式规范书写为 $\{x\mid 0<x<2\}$ 或 $(0,2)$。 故答案为 $\{x\mid 0<x<2\}$（或 $(0,2)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：形如 $|f(x)|<g(x)$ 的绝对值不等式的同解变形，即 $-g(x)<f(x)<g(x)$。
2. 核心方法：公式化简法。
3. 避坑指南：

• 填空题结果必须写成集合或区间的规范形式，如果直接写成不等式 $0<x<2$，在严格的高考网阅中会被直接判为 0 分。
• 若采用分段讨论法，注意在每种假设前提下求出的解必须与前提条件取交集，最后两段结果再取并集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查绝对值不等式的基本解法，属于集合与不等式板块的基础题，源自教材基础练习题。
2. 结论推广：通常对于 $|f(x)|<g(x)$，其对应等价不等式组中隐内含了 $g(x)>0$ 的约束。处理此类问题，公式法往往比分段讨论法更简捷、项数更少。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-01 单-集合交集
• 2018-全国卷I文-01 单-集合运算