2007-浙江卷理-19 解-直线平面所成角

本题导读

本题考查空间线线垂直的证明以及线面角的求解。通过已知两两垂直的特殊线段结构建立空间直角坐标系，利用向量的数量积证明垂直，并利用平面法向量求解直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 在如图所示的几何体中，$EA\perp$ 平面 $ABC$，$DB\perp$ 平面 $ABC$，$AC\perp BC$，且 $AC=BC=BD=2AE$，$M$ 是 $AB$ 的中点。

(1) 求证：$CM\perp EM$；

(2) 求 $CM$ 与平面 $CDE$ 所成的角。

🔍【思路分析】

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1. 对于(1)，由 $EA\perp$ 平面 $ABC$，$DB\perp$ 平面 $ABC$ 且 $AC\perp BC$，以 $C$ 为原点建立空间直角坐标系，写出各关键点的坐标，通过计算向量 $\overrightarrow{CM}$ 与 $\overrightarrow{EM}$ 的数量积是否为 0 来判定垂直；
2. 对于(2)，求出平面 $CDE$ 的一个法向量，利用直线方向向量与平面法向量夹角的正弦值公式求出线面角的正弦值，进而确定角的大小。

✅【答案】

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因此𝜃= 45∘

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $EA\perp$ 平面 $ABC$，$DB\perp$ 平面 $ABC$， 所以 $EA\parallel DB$。 又已知 $AC\perp BC$，以 $C$ 为原点，直线 $CB,CA$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴，过点 $C$ 且平行于 $AE$ 的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 设 $AE=1$，则 $AC=BC=BD=2$。 各点坐标分别为： $C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),E(0,2,1),D(2,0,2)$ 因为 $M$ 是 $AB$ 的中点，由中坐标公式得： $M(1,1,0)$

(1) 证明： 根据各点坐标可得： $\overrightarrow{CM}=(1,1,0)$ $\overrightarrow{EM}=(1-0,1-2,0-1)=(1,-1,-1)$ 计算其数量积： $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{EM}=1\times 1+1\times (-1)+0\times (-1)=1-1+0=0$ 所以 $\overrightarrow{CM}\perp \overrightarrow{EM}$，即 $CM\perp EM$。

(2) 解： 由坐标可得平面 $CDE$ 内的两个向量： $\overrightarrow{CD}=(2,0,2),\overrightarrow{CE}=(0,2,1)$ 设平面 $CDE$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=0⟹2x+2z=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CE}=0⟹2y+z=0\end{array}$ 令 $z=-2$，解得 $x=2,y=1$。 所以平面 $CDE$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(2,1,-2)$。 设 $CM$ 与平面 $CDE$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{CM}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{CM}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|1\times 2+1\times 1+0\times (-2)|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\times \sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}\times 3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $\theta =45^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{4}$）。 即 $CM$ 与平面 $CDE$ 所成的角为 $45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立、平面法向量的求解、线面角的向量转换公式（$\sin \theta =|\cos ⟨\vec{l},\vec{n}⟩|$）。
2. 核心方法：空间向量坐标法。通过寻找两两垂直的基线（$CB,CA,z$轴）实现几何关系的代数化。
3. 避坑指南：求得法向量与线方向向量的夹角余弦值后，需注意该值的绝对值对应的是线面角的正弦值（$\sin \theta$），而非余弦值，避免因习惯性直接转为余弦导致角度计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的立体几何“倒墙角”或直棱柱切截模型。利用线面垂直条件转化为坐标轴，属于传统高考对空间几何向量化处理的标准大题。
2. 结论推广：对于任何满足 $EA\parallel DB$ 且底面为直角三角形的直三棱柱截体模型，若满足特定边长齐次比例，其体内的特定中线与侧边线之间的垂直关系和夹角大小均不随绝对尺寸改变。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值