2007-浙江卷理-20 解-弦长公式

本题导读

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、弦长公式及三角形面积的综合求解。第一问在特殊斜率条件下利用函数性质求解面积最大值；第二问通过面积与弦长条件反推原点到直线的距离，进而联立方程组确定直线的未知系数。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 如图，直线 $y=kx+b$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 交于 $A,B$ 两点，记 $△AOB$ 的面积为 $S$。

(1) 求在 $k=0,0<b<1$ 的条件下，$S$ 的最大值；

(2) 当 $|AB|=2,S=1$ 时，求直线 $AB$ 的方程。

🔍【思路分析】

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1. 对于(1)，将 $k=0$ 代入得 $y=b$，联立椭圆方程求出交点横坐标表示底边 $|AB|$，高为 $b$，用基本不等式求解面积最大值；
2. 对于(2)，由 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=1$ 且 $|AB|=2$ 推得原点到直线的距离 $d=1$，建立关于 $k,b$ 的第一个方程。再联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系代入弦长公式建立第二个方程，联立求解。

✅【答案】

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（1）当𝑘=0时，直线为𝑦=𝑏.它与椭圆交于𝑥=±2√1−𝑏2,所以𝑆=1

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 当 $k=0$ 时，直线方程为 $y=b$ （其中 $0<b<1$）。 联立 $\{\begin{array}{l}y=b\\ \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{array}⟹x^2=4(1-b^2)⟹x=\pm 2\sqrt{1-b^2}$。 两交点为 $A(-2\sqrt{1-b^2},b)$， $B(2\sqrt{1-b^2},b)$，故底边长 $|AB|=4\sqrt{1-b^2}$。 $△AOB$ 的高为原点到直线的距离 $d=b$。 面积解析式为： $S=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{1-b^2}\cdot b=2b\sqrt{1-b^2}$ 因为 $0<b<1$，由基本不等式得： $S=2\sqrt{b^2(1-b^2)}\le 2\cdot \frac{b^2+(1-b^2)}{2}=1$ 当且仅当 $b^2=1-b^2$ 即 $b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时等号成立。 故 $S$ 的最大值为 $1$。

(2) 原点 $O(0,0)$ 到直线 $kx-y+b=0$ 的距离为 $d=\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}$。 因为 $△AOB$ 的面积 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d$，且已知 $|AB|=2,S=1$， 所以 $\frac{1}{2}\times 2\times d=1⟹d=1$。 由此得： $\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}}=1⟹b^2=1+k^2\text{(1)}$

联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ x^2+4y^2=4\end{array}⟹(1+4k^2)x^2+8kbx+4b^2-4=0$ 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由根与系数的关系得： $x_1+x_2=-\frac{8kb}{1+4k^2},x_1{x}_2=\frac{4b^2-4}{1+4k^2}$ 方程的判别式为： $\Delta =(8kb{)}^2-4(1+4k^2)(4b^2-4)=16(4k^2-b^2+1)$ 根据弦长公式： $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{\Delta }}{1+4k^2}=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{4\sqrt{4k^2-b^2+1}}{1+4k^2}$ 将①式 $b^2=1+k^2$ 代入上式简化得： $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{4\sqrt{4k^2-(1+k^2)+1}}{1+4k^2}=\frac{4\sqrt{3}|k|\sqrt{1+k^2}}{1+4k^2}$ 因为已知 $|AB|=2$，所以： $\frac{4\sqrt{3}|k|\sqrt{1+k^2}}{1+4k^2}=2⟹2\sqrt{3}|k|\sqrt{1+k^2}=1+4k^2$ 两边平方得： $12k^2(1+k^2)=(1+4k^2{)}^2⟹12k^2+12k^4=1+8k^2+16k^4$ 整理得： $4k^4-4k^2+1=0⟹(2k^2-1{)}^2=0$ 解得 $k^2=\frac{1}{2}$，即 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。 将 $k^2=\frac{1}{2}$ 代入①式得 $b^2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}⟹b=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$。 此时 $\Delta =16(4\times \frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1)=24>0$，符合题意。

由于 $b^2=1+k^2$ 仅对平方和进行约束， $k$ 与 $b$ 的正负号可以任意组合，满足条件的直线方程共有 4 条： $y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线距离公式，弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$，联立方程根与系数关系。
2. 核心方法：整体代换法。利用面积与弦长直接求出距离 $d=1$ 从而锁定 $b^2=1+k^2$，是绕开臃肿代数计算的关键。
3. 避坑指南：求解出 $k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $b=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ 后，需注意 $k$ 与 $b$ 的符号同号或异号均满足条件（共 4 种组合形式），不可漏掉任何一组符号组合。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于经典的解析几何常规大题，考查利用一元二次方程根与系数关系解决几何图形度量（面积、长度）的代数控制问题。
2. 结论推广：对于中心在原点的标准椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若动直线 $y=kx+m$ 与其相交所得的 $△AOB$ 面积为定值，可通过仿射变换将椭圆拉伸为正圆，从而直接利用圆的对称性进行几何秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值