2007-湖北卷文-15 填-分段函数建模求值

本题导读

本题考查分段函数建模，以及指数函数。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 $y$（毫克）与时间 $t$（小时）成正比；药物释放完毕后，$y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y={\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-a}$（$a$ 为常数），如图所示． （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 $y$（毫克）与时间 $t$（小时）之间的函数关系式为　　； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 $0.25$ 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过　　小时后，学生才能回到教室．

🔍【思路分析】

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1. 由图过点 $(0.1,1)$：释放段 $y=kt$ 得 $k=10$，且 $t=0.1$ 时释放完毕。
2. 代 $(0.1,1)$ 入指数段：${\left(\frac{1}{16}\right)}^{0.1-a}=1\Rightarrow a=\frac{1}{10}$。
3. ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-\frac{1}{10}}=0.25=16^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow t-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}\Rightarrow t=0.6$。

✅【答案】

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（1）$y=\{\begin{array}{ll}10t,& 0⩽t⩽\frac{1}{10},\\ {\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-\frac{1}{10}},& t>\frac{1}{10};\end{array}$（2）$0.6$

✍【详细解析】

Abstract

（1）释放过程中 $y=kt$，由图过点 $(0.1,1)$ 得 $k=10$，故 $y=10t$（$0⩽t⩽\frac{1}{10}$）． 释放完毕后 $y={\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-a}$，仍过点 $(0.1,1)$：${\left(\frac{1}{16}\right)}^{0.1-a}=1\Rightarrow 0.1-a=0\Rightarrow a=\frac{1}{10}$． 故 $y=\{\begin{array}{ll}10t,& 0⩽t⩽\frac{1}{10},\\ {\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-\frac{1}{10}},& t>\frac{1}{10}.\end{array}$ （2）令 ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{t-\frac{1}{10}}=0.25$，即 $16^{-\left(t-\frac{1}{10}\right)}=16^{-\frac{1}{2}}$， 得 $t-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$，$t=\frac{3}{5}=0.6$． 至少需要经过 $0.6$ 小时后，学生才能回到教室．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数建模求值

核心方法：分段函数按自变量范围选对应解析式求值

避坑指南：分段点归属要看清（$⩽$ 还是 $<$）；逐段代入

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数建模求值，函数应用基础题

结论推广：按自变量范围选解析式

方法推广：分段函数：先判范围，再选式代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2009-湖南卷文-08 单-新定义分段函数
• 2008-上海卷文-19 解-指数分段函数恒成立
• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程
• 2010-北京卷文-09 填-框图分段函数