2007-湖北卷文-16 解-三角函数值域

本题导读

本题考查三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 已知函数 $f(x)=2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\sqrt{3}\cos 2x$，$x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$． （1）求 $f(x)$ 的最大值和最小值； （2）若不等式 $|f(x)-m|<2$ 在 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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（1）$2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+x\right)=1-\cos \left(\frac{\pi }{2}+2x\right)=1+\sin 2x$，故 $f(x)=1+\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=1+2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$；$2x-\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$，正弦范围 $\left[\frac{1}{2},1\right]$。 （2）$|f-m|<2$ 恒成立 $⟺m-2<f(x)<m+2$ 恒成立 $⟺m>f_{\max }-2$ 且 $m<f_{\min }+2$。

✅【答案】

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（1）最大值 $3$，最小值 $2$；（2）$1<m<4$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+x\right)=1-\cos \left(\frac{\pi }{2}+2x\right)=1+\sin 2x$， 故 $f(x)=1+\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=1+2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$． $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $2x-\frac{\pi }{3}\in \left[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}\right]$，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\in \left[\frac{1}{2},1\right]$， 所以 $f_{\max }=1+2=3$（$2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$ 即 $x=\frac{5\pi }{12}$），$f_{\min }=1+1=2$． （2）$|f(x)-m|<2$ 在区间上恒成立 $⟺m-2<f(x)<m+2$ 对一切 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 成立 $⟺m-2<f_{\min }=2$ 且 $m+2>f_{\max }=3$，即 $m<4$ 且 $m>1$． 故 $m$ 的取值范围是 $(1,4)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数值域

核心方法：化为单一角函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$，用振幅与相位求最值

避坑指南：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$；值域是 $[-A+b,A+b]$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数值域，三角综合题

结论推广：辅助角公式化单一角函数

方法推广：三角最值：辅助角 → 振幅定值域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.01 弧度制与扇形度量
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2008-天津卷文-06 单-三角图象平移伸缩
• 2008-大纲卷I文-09 单-三角图象平移
• 2007-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形