2007-湖北卷理-05 单-二项式定理在极限中应用

本题导读

本题考查数列极限的计算。核心在于通过自变量的倒数代换，将趋于无穷的极限问题转化为趋于 0 的函数极限问题，再结合等价无穷小代换或二项式展开展开化简。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 已知 $p$ 和 $q$ 是两个不相等的正整数，且 $q\ge 2$，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^p-1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^q-1}=$ ()

A. $0$　　　　　　B. $1$　　　　　　C. $\frac{p}{q}$　　　　　　D. $\frac{p-1}{q-1}$

🔍【思路分析】

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1. 变量代换简化结构：令 $x=\frac{1}{n}$。当 $n\to \infty$ 时， $x\to 0$。 原极限式转化为： ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^p-1}{(1+x{)}^q-1}$。
2. 运用二项式定理展开分子分母：

• $(1+x{)}^p-1=\left(1+px+{\text{C}}_p^2{x}^2+\dots \right)-1=px+{\text{C}}_p^2{x}^2+\dots$
• $(1+x{)}^q-1=\left(1+qx+{\text{C}}_q^2{x}^2+\dots \right)-1=qx+{\text{C}}_q^2{x}^2+\dots$

3. 消除无穷小因子求极限：分子分母同时除以 $x$，令 $x\to 0$ 提取常数项比值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：令 $x=\frac{1}{n}$。因为 $n\to \infty$， 故 $x\to 0$。 原极限表达式可以重构为： ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^p-1}{(1+x{)}^q-1}$

根据二项式定理，将分子和分母的多项式分别展开： $(1+x{)}^p-1=\left(1+px+\frac{p(p-1)}{2}{x}^2+\cdots +x^p\right)-1=px+\frac{p(p-1)}{2}{x}^2+\cdots +x^p$ $(1+x{)}^q-1=\left(1+qx+\frac{q(q-1)}{2}{x}^2+\cdots +x^q\right)-1=qx+\frac{q(q-1)}{2}{x}^2+\cdots +x^q$

代回极限式中，分子与分母同时约去非零因子 $x$： ${\lim }_{x\to 0}\frac{px+\frac{p(p-1)}{2}{x}^2+\cdots +x^p}{qx+\frac{q(q-1)}{2}{x}^2+\cdots +x^q}={\lim }_{x\to 0}\frac{p+\frac{p(p-1)}{2}x+\cdots +x^{p-1}}{q+\frac{q(q-1)}{2}x+\cdots +x^{q-1}}$

令 $x\to 0$， 分子与分母中所有含有 $x$ 的高阶项全部趋于 0： $\frac{p+0}{q+0}=\frac{p}{q}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等价无穷小关系 $(1+x{)}^k-1\sim kx(x\to 0)$、极限的换元法。
2. 核心方法：二项式展开法、抓大放小（抓低阶无穷小）法。
3. 避坑指南：

• 本题利用高等数学中的常用等价无穷小工具 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^p-1}{px}=1$ 可在一秒钟内降维秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 出自高中数学选修2-2微积分初步中有关变化率与极限的典型基础题。

2. 结论推广: 洛必达法则的投影：对于 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^p-1}{(1+x{)}^q-1}$， 分子分母同时求导得 ${\lim }_{x\to 0}\frac{p(1+x{)}^{p-1}}{q(1+x{)}^{q-1}}=\frac{p}{q}$。

🔗【关联脉络】

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• 04.01 指数与对数运算