2007-湖北卷理-19 解-解析几何中定值存在性问题

本题导读

本题是一道兼顾抛物线与圆的综合解析几何大题。第一问通过设出经过焦点（定点）的直线，与抛物线联立建立韦达定理模型，利用点到直线的距离将 $△ANB$ 的面积表示为斜率的函数，运用均值不等式求出最小值；第二问考查圆截直线弦长为定值问题，通过设出直线方程，利用代数消元法使其与斜率无关从而锁定定值条件。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过定点 $C(0,p)$ 作直线与抛物线 $x^2=2py(p>0)$ 相交于 $A,B$ 两点.

(1) 若点 $N$ 是点 $C$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点，求 $△ANB$ 面积的最小值；

(2) 是否存在垂直于 $y$ 轴的直线 $l$，使得 $l$ 被以 $AC$ 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 定点 $C(0,p)$ 恰好是抛物线 $x^2=2py$ 的焦点。点 $N$ 是 $C$ 关于原点的对称点，则 $N(0,-p)$。
• 设经过点 $C(0,p)$ 的直线方程为 $y=kx+p$。
• 联立直线的方程与抛物线的方程 $x^2=2py$， 得到 $x^2-2pkx-2p^2=0$。由韦达定理得 $x_1+x_2=2pk,x_1{x}_2=-2p^2$。
• 计算面积：可以使用 $S_{△ANB}=\frac{1}{2}|NC|\cdot |x_1-x_2|$。因为 $N,C$ 均在 $y$ 轴上，底边 $|NC|=2p$。
• 弦宽 $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{4p^2{k}^2+8p^2}=2p\sqrt{k^2+2}$。代入可求出关于 $k$ 的面积函数， 直接由 $k=0$ 锁定极小值。

2. 第二问：

• 设存在垂直于 $y$ 轴的直线 $l:y=y_0$。

• 设 $A(x_1,y_1),C(0,p)$， 则以 $AC$ 为直径的圆的方程可以利用圆的直径式方程直接表达： $(x-x_1)(x-0)+(y-y_1)(y-p)=0$。

• 联立直线 $y=y_0$， 得关于 $x$ 的一元二次方程： $x^2-x_{1}x+(y_0-y_1)(y_0-p)=0$。

• 截得的弦长为 $L=\sqrt{{\Delta }_x}=\sqrt{x_1^2-4(y_0-y_1)(y_0-p)}$。

• 要使 $L$ 恒为定值， 根号内的表达式经过韦达定理参数化后， 必须与直线的斜率 $k$ 完全解耦（即关于 $k$ 的系数严格为 0）， 从而求出 $y_0$。

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存在垂直于 $y$ 轴的直线 $l$，其方程为 $y=\frac{p}{2}$，使得以 $AC$ 为直径的圆截得的弦长恒为定值 $p$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为定点 $C(0,p)$ 且点 $N$ 是点 $C$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点，所以点 $N$ 的坐标为： $N(0,-p)$ 由此可知， 线段 $NC$ 分布在 $y$ 轴上，其长度为固定常数： $|NC|=p-(-p)=2p$

依题意，设过点 $C(0,p)$ 的直线方程为 $y=kx+p$。 将直线方程与抛物线方程 $x^2=2py$ 联立： $\{\begin{array}{l}y=kx+p\\ x^2=2py\end{array}⟹x^2=2p(kx+p)⟹x^2-2pkx-2p^2=0$

设交点坐标为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。根据一元二次方程韦达定理： $x_1+x_2=2pk,x_1{x}_2=-2p^2$ 计算交点在 $x$ 轴方向上的弦宽距离 $|x_1-x_2|$： $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{(2pk{)}^2-4(-2p^2)}=\sqrt{4p^2{k}^2+8p^2}=2p\sqrt{k^2+2}$

在 $△ANB$ 中，将线段 $NC$ 视为底边，则 $A,B$ 两点的横坐标绝对值差值 $|x_1-x_2|$ 即为该底边上的高之和。 计算三角形面积公式为： $S_{△ANB}=\frac{1}{2}\cdot |NC|\cdot |x_1-x_2|=\frac{1}{2}\times 2p\times 2p\sqrt{k^2+2}=2p^2\sqrt{k^2+2}$

因为 $k^2\ge 0$， 当且仅当 $k=0$（即直线垂直于 $y$ 轴）时， $\sqrt{k^2+2}$ 取得最小值 $\sqrt{2}$。 所以， $△ANB$ 面积的最小值为： $S_{\text{min}}=2\sqrt{2}{p}^2$

（2）假设存在垂直于 $y$ 轴的直线 $l:y=y_0$ 满足题意。 已知线段 $AC$ 的两端点坐标为 $A(x_1,y_1)$ 和 $C(0,p)$。 根据圆的直径式方程性质， 以 $AC$ 为直径的圆上任意动点 $(x,y)$ 均满足 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=0$， 展开得方程： $(x-x_1)(x-0)+(y-y_1)(y-p)=0⟹x^2-x_{1}x+(y-y_1)(y-p)=0\text{(1)}$

将直线 $l:y=y_0$ 代入该圆的方程①中， 求出相交弦的端点横坐标方程： $x^2-x_{1}x+(y_0-y_1)(y_0-p)=0\text{(2)}$ 根据弦长公式， 直线 $l$ 被圆截得的弦长 $L$ 为方程②的判别式的平方根： $L=\sqrt{{\Delta }_x}=\sqrt{(-x_1{)}^2-4\left[(y_0-y_1)(y_0-p)\right]}=\sqrt{x_1^2-4(y_0-y_1)(y_0-p)}\text{(3)}$

因为点 $A(x_1,y_1)$ 在直线上， 满足 $y_1=k{x}_1+p$， 且在抛物线上满足 $y_1=\frac{x_1^2}{2p}$。 为了将弦长 $L$ 转化为含有参数 $k$ 的一元代数式，我们将上述关系代入③中。 首先将③式根号内部的项展开： $M=x_1^2-4y_0^2+4p{y}_0+4y_1{y}_0-4p{y}_1$ 将 $y_1=\frac{x_1^2}{2p}$ 代入： $M=x_1^2-4y_0^2+4p{y}_0+4\left(\frac{x_1^2}{2p}\right)y_0-4p\left(\frac{x_1^2}{2p}\right)$ $M=x_1^2-4y_0^2+4p{y}_0+\frac{2y_0}{p}{x}_1^2-2x_1^2=\left(\frac{2y_0}{p}-1\right)x_1^2-4y_0^2+4p{y}_0\text{(4)}$

要使直线 $l$ 被圆截得的弦长 $L=\sqrt{M}$ 恒为定值，意味着无论直线斜率 $k$ 如何变化（对应的交点横坐标 $x_1$ 也会随之剧烈改变）， 多项式 ④ 的值都必须保持恒定不变。 因此， 含有变数 $x_1^2$ 的项的系数必须强行等于 0： $\frac{2y_0}{p}-1=0⟹2y_0=p⟹y_0=\frac{p}{2}$

当 $y_0=\frac{p}{2}$ 时， 将其代回多项式 ④ 中计算其恒定的常数值： $M=0\times x_1^2-4{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+4p\left(\frac{p}{2}\right)=-p^2+2p^2=p^2$ 此时， 截得的弦长恒为定值： $L=\sqrt{M}=\sqrt{p^2}=p(\text{因 }p>0)$

综上所述，存在垂直于 $y$ 轴的直线 $l$，其方程为 $y=\frac{p}{2}$，使得以 $AC$ 为直径的圆截得的弦长恒为定值 $p$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的直径式快速方程构建、解析几何定值问题的“系数归零消元技术”。
2. 核心方法：韦达定理消元法、恒等式系数比对法。
3. 避坑指南：

• 第二问中利用圆的常规方程（求圆心和半径）去推导会产生极其庞大的中间运算。熟练掌握圆的直径式方程 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ 是解析几何大题中实现降维控速的杀手锏。

• 在处理恒为定值的逻辑时， 牢记“让变数的系数等于0”这一硬性死程序， 即可直接锁定未知数 $y_0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题高观点背景出自解析几何中关于二次曲线的“阿基米德三角形”以及焦半径圆的包络线性质。

2. 结论推广: 对于任意抛物线 $x^2=2py$， 过焦点的弦与抛物线交于 $A,B$， 以任意焦半径（如 $AC$ 或 $BC$）为直径的圆， 均恒与抛物线的顶点的切线（即 $x$ 轴）相切， 且被平行于准线的定直线 $y=\frac{p}{2}$ 截得的弦长恒等于焦准距的一半 $\frac{p}{2}$ 并不对，本题截得弦长为 $p$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2021-新高考I卷-21 解-双曲线综合