2007-湖北卷理-20 解-构造函数法证明不等式

本题导读

本题考查导数的几何意义以及利用导数证明函数不等式。第一问利用公切线条件“函数值相等且导数值相等”列出方程组，消去切点横坐标得到 $b$ 关于 $a$ 的函数，再求其最大值；第二问代入最大值时的 $b$ 构造差函数，通过求导确定其单调性与全域最小值， 从而证明不等式。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 已知定义在正实数集上的函数 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2ax,g(x)=3a^2\ln x+b$，其中 $a>0$. 设两曲线 $y=f(x),y=g(x)$ 有公共点，且在该点处的切线相同.

(1) 用 $a$ 表示 $b$，并求 $b$ 的最大值；

(2) 求证: $f(x)\ge g(x)(x>0)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 设两曲线的公共切点为 $M(x_0,y_0)$ ($x_0>0$)。
• 依据公切线满足的两条死理：
• ① 纵坐标重合： $f(x_0)=g(x_0)⟹\frac{1}{2}{x}_0^2+2a{x}_0=3a^2\ln x_0+b$；
• ② 切线斜率相等： $f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)⟹x_0+2a=\frac{3a^2}{x_0}⟹x_0^2+2a{x}_0-3a^2=0$。
• 由斜率方程解出唯一的正根切点 $x_0=a$， 代入纵坐标方程中即可消去 $x_0$， 得到 $b$ 关于 $a$ 的代数式。
• 对 $b(a)$ 求导，求出其最大值。

2. 第二问：

• 欲证 $f(x)\ge g(x)$， 即证 $f(x)-g(x)\ge 0$。

• 代入第一问的已知量，构造差函数 $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2ax-3a^2\ln x-b$。

• 对其求导，锁定其在定义域内的单调递减与单调递增区间。

• 证明其全域绝对极小值（即最小值）大于或等于 0 即可。

✅【答案】

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（1）𝑏=52𝑎2−3𝑎2ln𝑎，且𝑏的最大值为32e2

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设两曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的公共切点坐标为 $M(x_0,y_0)$ ($x_0>0$)。 对两函数分别求导： $f^{\prime }(x)=x+2a,g^{\prime }(x)=\frac{3a^2}{x}$

根据题意，两曲线在点 $M$ 处拥有同一条切线， 则满足该点处函数值相等且导数值相等， 建立方程组： $\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}_0^2+2a{x}_0=3a^2\ln x_0+b\text{(1)}\\ x_0+2a=\frac{3a^2}{x_0}\text{(2)}\end{array}$

首先化简方程②， 两边同乘以 $x_0$： $x_0^2+2a{x}_0-3a^2=0⟹(x_0-a)(x_0+3a)=0$ 因为 $a>0$ 且切点横坐标必须满足 $x_0>0$， 故舍去负根 $x_0=-3a$， 得到切点横坐标的唯一解： $x_0=a$

将 $x_0=a$ 代入方程①中， 成功消去变数 $x_0$， 整理出用 $a$ 表达 $b$ 的解析式： $\frac{1}{2}{a}^2+2a^2=3a^2\ln a+b⟹b=\frac{5}{2}{a}^2-3a^2\ln a(a>0)$

下面求 $b$ 关于 $a$ 的函数的最值。对 $b$ 关于自变量 $a$ 求导： $b^{\prime }={\left(\frac{5}{2}{a}^2\right)}^{\prime }-{\left(3a^2\ln a\right)}^{\prime }=5a-\left(6a\ln a+3a^2\cdot \frac{1}{a}\right)$ $b^{\prime }=5a-6a\ln a-3a=2a-6a\ln a=2a(1-3\ln a)$

令 $b^{\prime }=0$， 因为 $a>0$， 故： $1-3\ln a=0⟹\ln a=\frac{1}{3}⟹a={\text{e}}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\text{e}}$ 分析导函数 $b^{\prime }$ 的符号随 $a$ 变化的特征：

• 当 $a\in \left(0,{\text{e}}^{\frac{1}{3}}\right)$ 时， $\ln a<\frac{1}{3}⟹b^{\prime }>0$， 函数 $b$ 单调递增；
• 当 $a\in \left({\text{e}}^{\frac{1}{3}},+\infty \right)$ 时， $\ln a>\frac{1}{3}⟹b^{\prime }<0$， 函数 $b$ 单调递减。 因此，当 $a={\text{e}}^{\frac{1}{3}}$ 时， 函数 $b$ 取得绝对全域最大值： $b_{\text{max}}=\frac{5}{2}{\left({\text{e}}^{\frac{1}{3}}\right)}^2-3{\left({\text{e}}^{\frac{1}{3}}\right)}^2\ln \left({\text{e}}^{\frac{1}{3}}\right)=\frac{5}{2}{\text{e}}^{\frac{2}{3}}-3{\text{e}}^{\frac{2}{3}}\times \frac{1}{3}$ $b_{\text{max}}=\frac{5}{2}{\text{e}}^{\frac{2}{3}}-{\text{e}}^{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}{\text{e}}^{\frac{2}{3}}(\text{或记为 }\frac{3}{2}\sqrt[3]{{\text{e}}^2})$

（2）证明：由第（1）问可知， 对任意的 $a>0$， 参数 $b$ 满足上限控制： $b\le \frac{5}{2}{a}^2-3a^2\ln a$。 要证明 $f(x)\ge g(x)$ 恒成立， 我们构造全域差函数： $F(x)=f(x)-g(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2ax-3a^2\ln x-b$ 将第一问中 $b=\frac{5}{2}{a}^2-3a^2\ln a$ 代入函数式中： $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2+2ax-3a^2\ln x-\left(\frac{5}{2}{a}^2-3a^2\ln a\right)$

对构造的自变量函数 $F(x)$ 进行求导： $F^{\prime }(x)=x+2a-\frac{3a^2}{x}=\frac{x^2+2ax-3a^2}{x}=\frac{(x-a)(x+3a)}{x}$

因为大前提给出 $a>0$ 且自变量定义域为 $x>0$， 故分母 $x>0$ 且因式 $x+3a>0$ 恒成立。 由此直接锁定导函数 $F^{\prime }(x)$ 的零点为 $x=a$。分析其单调性：

• 当 $x\in (0,a)$ 时， $x-a<0⟹F^{\prime }(x)<0$， 函数 $F(x)$ 严格单调递减；
• 当 $x\in (a,+\infty )$ 时， $x-a>0⟹F^{\prime }(x)>0$， 函数 $F(x)$ 严格单调递增。

根据函数的先减后增单调性轨线， 函数 $F(x)$ 在最低极小值点 $x=a$ 处取得其全域绝对最小值： $F(x{)}_{\text{min}}=F(a)=\frac{1}{2}{a}^2+2a^2-3a^2\ln a-\left(\frac{5}{2}{a}^2-3a^2\ln a\right)$ $F(a)=\frac{5}{2}{a}^2-3a^2\ln a-\frac{5}{2}{a}^2+3a^2\ln a=0$

因为全域最小值严格等于 0， 故对任意的 $x>0$， 均有： $F(x)\ge F(x{)}_{\text{min}}=0⟹f(x)-g(x)\ge 0⟹f(x)\ge g(x)$

不等式在正实数集全域内得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：公切线双重方程组构建（ $\Delta f=0,\Delta f^{\prime }=0$）、复杂对数复合多项式求导、差函数法全域最小值证明。
2. 核心方法：公切线方程组消元法、差函数极值锁定法。
3. 避坑指南：

• 第一问化简方程② $x_0^2+2a{x}_0-3a^2=0$ 时，必须严格扣死 $x_0>0$ 和 $a>0$ 这一防线， 迅速舍弃 $-3a$ 这个无效干扰根， 否则会导致双分支讨论增加不必要的运算负担。

• 第二问证明不等式时， 千万不要盲目把第一问算出的最大值常数 $b=\frac{3}{2}{\text{e}}^{2/3}$ 直接代进去。保持含有字母参数 $a$ 的 $b=\frac{5}{2}{a}^2-3a^2\ln a$ 整体代入， 可以在求导化简后让 $a$ 和 $x$ 的结构完全对称重合， 从而在 $x=a$ 处直接实现常数项的全部完美对消， 达到以逸待劳的解题效果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题原型出自人教 A 版选修2-2第一章《导数及其应用》中关于切线方程与函数最值应用的压轴提升演练。

2. 结论推广: 经典不等式：当 $x>0$ 时， $\ln x\le x-1$。本题则是该宏观经典切线放缩模型在含有二次项及多参数变形下的一个具体深度投影。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2021-新高考II卷-22 解-导数综合