2007-湖南卷文-05 单-二项式系数最大定n

本题导读

本题考查二项式定理，以及系数最大项。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 在 $(1+x{)}^n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）的二项展开式中，若只有 $x^5$ 的系数最大，则 $n=$ ()

A. 8　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 10　　　　　　　D. 11

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(1+x{)}^n$ 展开式各项系数为 $C_n^k$（$k=0,1,\cdots ,n$）。
2. 组合数序列先增后减（奇数个项时中间唯一最大）。
3. 只有 $C_n^5$ 最大 ⟹ 序列共 11 项 ⟹ $n=10$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$(1+x{)}^n$ 的展开式中 $x^k$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_n^k$（$k=0,1,\cdots ,n$），组合数性质：${\mathrm{C}}_n^0<{\mathrm{C}}_n^1<\cdots <{\mathrm{C}}_n^{\lfloor n/2\rfloor }>\cdots >{\mathrm{C}}_n^n$． 若只有 $x^5$ 的系数 ${\mathrm{C}}_n^5$ 最大，则 $5$ 必为唯一的中间位置，即 $2\times 5=n$，得 $n=10$． 验证：$n=10$ 时各项系数 ${\mathrm{C}}_{10}^0,\cdots ,{\mathrm{C}}_{10}^{10}$ 在 $k=5$ 处唯一最大，符合题意． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数最大定n

核心方法：$(1+x{)}^n$ 系数即 ${\mathrm{C}}_n^k$，组合数单峰对称：唯一最大在中间 $k=\frac{n}{2}$

避坑指南：“只有 $x^5$ 的系数最大”⟹ 5 是正中间 ⟹ $n=10$；$n$ 为奇数时中间两项并列最大，与”只有”矛盾

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数最大项问题，组合数性质应用

结论推广：${\mathrm{C}}_n^k$ 单峰对称，$n$ 偶时唯一峰值在 $k=\frac{n}{2}$

方法推广：系数最大问题先写单调性，再由峰值位置反求 $n$

🔗【关联脉络】

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