2007-湖南卷理-11 填-圆标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程求解。通过点到直线的距离公式求出圆的半径，再结合已知圆心坐标直接写出圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 圆心为 $(1,1)$ 且与直线 $x+y=4$ 相切的圆的方程是________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求圆的半径 $R$：由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。

• 直线方程化为一般式： $x+y-4=0$。
• 代入点到直线距离公式： $R=\frac{|1+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

2. 写出圆的方程：由圆心 $(1,1)$ 和半径 $R=\sqrt{2}$，标准方程为 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=R^2=2$。

✅【答案】

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$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

解：将直线方程化为一般式： $x+y-4=0$。 因为圆与该直线相切，所以圆心 $(1,1)$ 到该直线的垂直距离 $d$ 即为圆的半径 $R$。 根据点到直线的距离公式： $R=d=\frac{|1\times 1+1\times 1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|-2|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

从而求得圆的半径平方为 $R^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$。 结合已知圆心坐标为 $(1,1)$，直接写出该圆的标准方程： $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线几何性质（ $d=R$）、点到直线距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
2. 核心方法：公式直接代入法。
3. 避坑指南：

• 基础送分题，注意标准方程右侧是 $R^2$ 而不是 $R$， 不要误写成 $\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到直线的距离公式、圆的标准方程是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是点到直线的距离公式、圆的标准方程的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用公式直接代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-13 填-圆的方程
• 2010-广东卷理-12 填-点到直线的距
• 2014-重庆卷文-14 填-直线与圆