2007-福建卷理-02 单-分式裂项原理

本题导读

本题考查数理基础中的数列求和。通项公式为有理分式构型，采用经典的“裂项相消法”，将各项拆分为两项之差，中间项两两相消从而直接求得前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，则 $S_5$ 等于()

A. 1　　　　　　　B. $\frac{5}{6}$　　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　　D. $\frac{1}{30}$

🔍【思路分析】

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1. 通项裂项分解：利用公式 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 将通项拆开。

2. 多项累加消除：将 $n=1,2,3,4,5$ 的各项顺次写出并求和，抵消中间项，剩下首尾两项计算结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：将数列的通项公式 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ 裂项变形为： $a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

要求前 5 项的和 $S_5$，将其顺次累加展开： $S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ $S_5=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)$

观察可知，中间的相邻项 $\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{3},\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{5}$ 顺次两两正负抵消，整个算式仅剩首项和末项： $S_5=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式裂项相消模型 $S_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。
2. 核心方法：裂项相消法。
3. 避坑指南：

• 本题项数较少（只有5项），即使直接通分硬算也能得分，但在大题中必须熟练写出 $\frac{n}{n+1}$ 的通用结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列的求和（裂项相消法）、分式裂项原理是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是数列的求和（裂项相消法）、分式裂项原理的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用裂项相消求和法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-18 解-等差数列通项与裂项
• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和
• 2013-江苏卷-14 填-等比数列的综合应用