2007-福建卷理-05 单-正弦型函数对称轴对称中心

本题导读

本题考查正弦型三角函数的周期与对称性。首先利用最小正周期求出频率参数 $\omega$，再利用正弦曲线在对称中心处函数值为 0、在对称轴处函数值取得最值的数理特征，对选项进行快速筛选判定。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)(\omega >0)$ 的最小正周期为 $\pi$，则该函数的图像()

A. 关于点 $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$ 对称　　　　　　　　B. 关于直线 $x=\frac{\pi }{4}$ 对称

C. 关于点 $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$ 对称　　　　　　　　D. 关于直线 $x=\frac{\pi }{3}$ 对称

🔍【思路分析】

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1. 求解频率 $\omega$：根据正弦型函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，已知 $T=\pi ⟹\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$。 由此可得确切的函数解析式为： $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$。
2. 校验对称中心与对称轴性质：

• 若图像关于点 $(x_0,0)$ 对称（中心），则必然满足 $f(x_0)=0$。
• 若图像关于直线 $x=x_0$ 对称（轴），则必然满足 $f(x_0)=\pm 1$（取得波峰或波谷）。

3. 逐项代入代数验算：

• 代入 A 项 $x=\frac{\pi }{3}$： $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \pi =0$。完全吻合对称中心的定义。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的最小正周期为 $\pi$，且 $\omega >0$， 根据正弦型函数的周期公式，可得： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$ 由此确定该函数的解析式为： $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

下面根据正弦曲线的对称性质，将选项中的自变量坐标依次代入函数解析式中进行校验：

• 对 A 选项进行检验：将 $x=\frac{\pi }{3}$ 代入解析式中计算函数值： $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(2\times \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \pi =0$ 根据正弦函数的数理特质，正弦曲线与其对称轴的交点（即零点位置）必然是该图像的对称中心。 因此，函数图像关于点 $\left(\frac{\pi }{3},0\right)$ 呈中心对称， A 选项正确。

(为了思维的严密性，对其余选项做定性排除：)

• 代入 B 项： $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\ne \pm 1$，故不是对称轴；
• 代入 C 项：由上步知 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\ne 0$，故不是对称中心；
• 代入 D 项：由 A 项计算知 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=0\ne \pm 1$，故不是对称轴。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 反求参数、正弦型函数对称中心满满足整体角等于 $k\pi$（函数值为0）、对称轴满足整体角等于 $k\pi +\frac{\pi }{2}$（函数值为 $\pm 1$）。
2. 核心方法：特值代入检验法。
3. 避坑指南：

• 求解三角函数对称性选择题时，最快捷的降维打击法就是“代入求值法”。不需要去解复杂的含有 $k$ 的方程组，直接把选项里的 $x$ 值拍进函数里。算出是 0 则是中心，算出是 $\pm 1$ 则是轴，出现其他杂数直接排除，高效且不易忙中出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的周期性、正弦型函数的对称轴与对称中心是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是三角函数的周期性、正弦型函数的对称轴与对称中心的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用整体代换法、性质校验法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2008-四川卷理-11 单-函数
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