2007-福建卷理-17 解-正弦定理

本题导读

本题考查三角恒等变换与解三角形的综合应用。第一问利用三角形内角和定理及两角和的正切公式求得 $\tan C$，进而确定角 $C$ 的大小；第二问通过同角三角函数基本关系式求出 $\sin A$，再运用正弦定理计算边 $BC$ 的长度。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 在 $△ABC$ 中， $\tan A=\frac{1}{4}$， $\tan B=\frac{3}{5}$.

(1) 求角 $C$ 的大小；

(2) 若 $AB$ 边长为 $\sqrt{17}$，求 $BC$ 边长.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 根据三角形内角和定理得到 $C=\pi -(A+B)$，则 $\tan C=-\tan (A+B)$。
• 利用公式 $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$ 计算，进而求得角 $C$。

2. 第二问：

• 由 $\tan A=\frac{1}{4}$ 且 $A$ 为三角形内角，判定 $A$ 为锐角，通过同角三角函数关系式求出 $\sin A$。

• 已知 $c=AB=\sqrt{17}$，角 $C$ 已求，直接运用正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ 求解 $BC$。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）在 $△ABC$ 中，因为 $A+B+C=\pi$，所以 $C=\pi -(A+B)$。 根据诱导公式，可得： $\tan C=\tan [\pi -(A+B)]=-\tan (A+B)$

应用两角和的正切公式进行代数计算： $\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}}{1-\frac{1}{4}\times \frac{3}{5}}=\frac{\frac{17}{20}}{1-\frac{3}{20}}=\frac{\frac{17}{20}}{\frac{17}{20}}=1$ 由此可得： $\tan C=-1$

因为 $C$ 为 $△ABC$ 的内角，即 $C\in (0,\pi )$， 所以： $C=\frac{3\pi }{4}$

（2）因为 $\tan A=\frac{1}{4}>0$，且 $A\in (0,\pi )$， 所以角 $A$ 为锐角。 根据同角三角函数平方和关系式 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$，可推导得出： $\sin A=\frac{\tan A}{\sqrt{1+{\tan }^{2}A}}=\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{1+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{17}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$

由（1）知 $C=\frac{3\pi }{4}$，故： $\sin C=\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

在 $△ABC$ 中，已知 $AB=\sqrt{17}$，根据正弦定理： $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$ 移项并代入已知数据求解 $BC$： $BC=AB\cdot \frac{\sin A}{\sin C}=\sqrt{17}\times \frac{\frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

所以， $BC$ 边的长为 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和正切通式、正弦定理定理构型 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$。
2. 核心方法：弦切互化法、边角对应法。
3. 避坑指南：

• 第一问算得 $\tan C=-1$ 时，务必注意三角形内角范围的刚性限制。由于 $\tan C<0$， 只能在第二象限截取钝角 $C=\frac{3\pi }{4}$。

• 第二问由 $\tan A$ 求 $\sin A$ 时，要先根据正负号判定象限以确定根号外的正负号（内角正切为正即为第一象限锐角，正弦必为正）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考中解三角形板框的常规基础型题型，改编自人教 A 版必修五第一章《解三角形》的课后典型复习题。

2. 结论推广: 三角形内角正切具有隐藏恒等式： $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$ （当三个角均不为直角时），可作为快速核校的代数工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷理-17 解-对数