2007-辽宁卷理-02 单-函数反函数图象对称性

本题导读

本题考查互为反函数的两个函数图象之间的点坐标映射特征。核心在于利用“函数与反函数点坐标横纵互换”的性质直接判定。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 若函数 $y=f(x)$ 的反函数图象过点 $(1,5)$，则函数 $y=f(x)$ 的图象必过点()

A. $(1,1)$　　　　B. $(1,5)$　　　　C. $(5,1)$　　　　D. $(5,5)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数定义法：设 $y=f(x)$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$。已知反函数过点 $(1,5)⟹f^{-1}(1)=5$。

2. 根据互为反函数的充要对应性质： $f^{-1}(a)=b⟺f(b)=a$。

3. 由 $f^{-1}(1)=5$ 推得 $f(5)=1$，对应图象上的坐标点即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：设函数 $y=f(x)$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$。 因为反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $(1,5)$， 根据图象与函数方程的对应关系，将其横纵坐标代入解析式可得： $f^{-1}(1)=5$

根据互为反函数的映射基本定义，若反函数将 1 映射到 5，则原函数 $f(x)$ 必然将 5 逆映射回 1： $f(5)=1$ 这表明函数 $y=f(x)$ 的图象必然经过点 $(5,1)$。 (注：从几何图形的角度看，互为反函数的两函数图象关于直线 $y=x$ 严格轴对称。点 $(1,5)$ 关于 $y=x$ 对称得到的对应点坐标即为 $(5,1)$)。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数与反函数点坐标的互换性（ $f(x)$ 过 $(a,b)⟺f^{-1}(x)$ 过 $(b,a)$）。
2. 避坑指南：

• 极其简单基础的送分小题，注意横纵坐标互换时不要写反位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数的概念与映射性质、函数与反函数图象的对称性是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是反函数的概念与映射性质、函数与反函数图象的对称性的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用坐标互换法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-05 单-受限反函数
• 2008-四川卷文-02 单-对数型反函数
• 2008-大纲卷I文-08 单-反函数