2007-重庆卷文-09 单-向量垂直平行联立定坐标

本题导读

本题考查向量垂直的坐标运算，以及向量共线（平行）的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 已知向量 $\overrightarrow{OA}=(4,6)$，$\overrightarrow{OB}=(3,5)$，且 $\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AC}\parallel \overrightarrow{OB}$，则向量 $\overrightarrow{OC}=$ ()

A. $\left(-\frac{3}{7},\frac{2}{7}\right)$　　B. $\left(-\frac{2}{7},\frac{4}{21}\right)$　　C. $\left(\frac{3}{7},-\frac{2}{7}\right)$　　D. $\left(\frac{2}{7},-\frac{4}{21}\right)$

🔍【思路分析】

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1. 设 $\overrightarrow{OC}=(x,y)$。
2. $\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OA}$：$4x+6y=0$。
3. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(x-4,y-6)\parallel \overrightarrow{OB}=(3,5)$：$5(x-4)=3(y-6)$，即 $5x-3y=2$。
4. 联立解得 $x=\frac{2}{7}$，$y=-\frac{4}{21}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $\overrightarrow{OC}=(x,y)$． 由 $\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OA}$ 得 $4x+6y=0$，即 $2x+3y=0$． 由 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(x-4,y-6)$ 与 $\overrightarrow{OB}=(3,5)$ 平行，得 $5(x-4)=3(y-6)$，即 $5x-3y=2$． 联立 $\{\begin{array}{l}2x+3y=0\\ 5x-3y=2\end{array}$，两式相加得 $7x=2$，$x=\frac{2}{7}$，进而 $y=-\frac{2x}{3}=-\frac{4}{21}$． 故 $\overrightarrow{OC}=\left(\frac{2}{7},-\frac{4}{21}\right)$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直平行联立定坐标

核心方法：垂直给 $4x+6y=0$，平行给 $5(x-4)=3(y-6)$，联立解得 $\left(\frac{2}{7},-\frac{4}{21}\right)$

避坑指南：$\overrightarrow{AC}$ 是 $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，别用 $\overrightarrow{OC}$ 直接与 $\overrightarrow{OB}$ 平行；平行用坐标交叉相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直与平行条件的坐标联立，与 2014 重庆理第 4 题、2015 重庆文第 9 题同型

结论推广：垂直 $⟺$ 数量积为 0；平行 $⟺$ 坐标交叉积相等

方法推广：先设未知向量坐标，把两个几何条件各翻译成一个方程；解方程组后回代验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练(Links)

• 2015-重庆卷文-9
• 2014-重庆卷理-04 单-向量坐标运算
• 2013-重庆卷文-14 填-矩形向量垂直