2007-重庆卷文-11 单-等比中项约束下和最值

本题导读

本题考查等比中项，以及柯西不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 设 $\sqrt{3}b$ 是 $1-a$ 和 $1+a$ 的等比中项，则 $a+3b$ 的最大值为 ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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1. 等比中项：$(\sqrt{3}b{)}^2=(1-a)(1+a)=1-a^2$，即 $a^2+3b^2=1$。
2. 柯西不等式：$(a+3b{)}^2=(1\cdot a+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}b{)}^2⩽(1+3)(a^2+3b^2)=4$。
3. 当 $\frac{a}{1}=\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}$，即 $a=b$ 时取等，$a=b=\pm \frac{1}{2}$；取 $a=b=\frac{1}{2}$ 时 $a+3b=2$ 为最大。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sqrt{3}b$ 是 $1-a$ 与 $1+a$ 的等比中项，得 $(\sqrt{3}b{)}^2=(1-a)(1+a)=1-a^2$，即 $a^2+3b^2=1$． 由柯西不等式， $(a+3b{)}^2=(1\cdot a+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}b{)}^2⩽\left(1^2+(\sqrt{3}{)}^2\right)\left(a^2+(\sqrt{3}b{)}^2\right)=4\times 1=4$． 当 $a=\sqrt{3}b$，即 $a=b$ 时取等号；此时 $4a^2=1$，$a=b=\frac{1}{2}$（取正）满足条件，$a+3b=2$． 故 $a+3b$ 的最大值为 $2$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项约束下和最值

核心方法：$(\sqrt{3}b{)}^2=1-a^2$ 即 $a^2+3b^2=1$；柯西 $(a+3b{)}^2⩽4$

避坑指南：柯西取等条件 $\frac{a}{1}=\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}$；$a^2⩽1$ 保证存在，等号在 $a=b=\frac{1}{2}$ 时取得

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项给出二次约束后求一次式最值，与 2013 重庆理第 3 题、2014 重庆文第 9 题的最值小题同源

结论推广：等比中项 $\Rightarrow a^2+3b^2=1$（椭圆型约束）；柯西不等式一步出最值

方法推广：约束是平方和结构时优先柯西或三角换元；取等条件必须回代验证约束满足

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.03 柯西不等式

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷文-09 单-对数最值
• 2013-重庆卷理-03 单-利用基本不等式求最值
• 2015-重庆卷文-14 填-基本不等式