2007-重庆卷文-21 解-抛物线焦点弦垂直平分线定值

本题导读

本题考查抛物线的焦点与准线。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 如图，倾斜角为 $\alpha$ 的直线经过抛物线 $y^2=8x$ 的焦点 $F$，且与抛物线交于 $A$，$B$ 两点．

(1) 求抛物线的焦点 $F$ 的坐标及准线 $l$ 方程；

(2) 若 $\alpha$ 为锐角，作线段 $AB$ 的垂直平分线 $m$ 交 $x$ 轴于点 $P$，证明 $|FP|-|FP|\cos 2\alpha$ 为定值，并求此定值．

🔍【思路分析】

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1. (1) $y^2=8x=2px$，$2p=8$，$p=4$，焦点 $(2,0)$，准线 $x=-2$。
2. (2) 直线 $AB$：$y=\tan \alpha (x-2)$，代入 $y^2=8x$：${\tan }^2\alpha \cdot x^2-(4{\tan }^2\alpha +8)x+4{\tan }^2\alpha =0$。
3. 判别式 $=64{\tan }^2\alpha +64>0$，恒有两交点；韦达 $x_1+x_2=4+8{\cot }^2\alpha$，中点 $M\left(2+4{\cot }^2\alpha ,4\cot \alpha \right)$。
4. $m$ 过 $M$、斜率 $-\cot \alpha$，令 $y=0$：$x_P=x_M+y_M\tan \alpha =2+4{\cot }^2\alpha +4=6+4{\cot }^2\alpha$。
5. $|FP|=x_P-2=4+4{\cot }^2\alpha =\frac{4}{{\sin }^2\alpha }$；$|FP|-|FP|\cos 2\alpha =\frac{4}{{\sin }^2\alpha }(1-\cos 2\alpha )=\frac{4}{{\sin }^2\alpha }\cdot 2{\sin }^2\alpha =8$。

✅【答案】

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(1) $F(2,0)$，准线 $l:x=-2$；(2) 定值为 $8$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $y^2=8x$ 知 $2p=8$，$p=4$，故焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)=(2,0)$，准线 $l:x=-\frac{p}{2}=-2$． (2) $\alpha$ 为锐角，$\tan \alpha >0$．直线 $AB$：$y=\tan \alpha (x-2)$，代入 $y^2=8x$，得 ${\tan }^2\alpha \cdot x^2-(4{\tan }^2\alpha +8)x+4{\tan }^2\alpha =0$． 其判别式 $\Delta =(4{\tan }^2\alpha +8{)}^2-16{\tan }^4\alpha =64{\tan }^2\alpha +64>0$，直线与抛物线恒交于两点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$． 由韦达定理，$x_1+x_2=\frac{4{\tan }^2\alpha +8}{{\tan }^2\alpha }=4+8{\cot }^2\alpha$，故 $AB$ 中点 $M\left(x_M,y_M\right)=\left(2+4{\cot }^2\alpha ,\tan \alpha \left(x_M-2\right)\right)=\left(2+4{\cot }^2\alpha ,4\cot \alpha \right)$． 直线 $m$ 过 $M$ 且斜率为 $-\cot \alpha$（与 $AB$ 垂直），令 $y=0$： $x_P=x_M+y_M\tan \alpha =\left(2+4{\cot }^2\alpha \right)+4\cot \alpha \cdot \tan \alpha =6+4{\cot }^2\alpha$． 于是 $|FP|=x_P-x_F=4+4{\cot }^2\alpha =4\left(1+{\cot }^2\alpha \right)=\frac{4}{{\sin }^2\alpha }$． 因此 $|FP|-|FP|\cos 2\alpha =\frac{4}{{\sin }^2\alpha }\left(1-\cos 2\alpha \right)=\frac{4}{{\sin }^2\alpha }\cdot 2{\sin }^2\alpha =8$， 为定值 $8$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦垂直平分线定值

核心方法：$x_M=2+4{\cot }^2\alpha$，$y_M=4\cot \alpha$；$x_P=6+4{\cot }^2\alpha$，$|FP|=\frac{4}{{\sin }^2\alpha }$，$|FP|(1-\cos 2\alpha )=8$

避坑指南：垂直平分线斜率 $-\cot \alpha$ 与 $x_P=x_M+y_M\tan \alpha$ 的正负号要配对；$1-\cos 2\alpha =2{\sin }^2\alpha$ 消去 ${\sin }^2\alpha$ 是定值浮现的关键

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦点弦与垂直平分线定值，与 2010 文第 13 题（焦点弦）、2012/2011 理第 14/15 题同族

结论推广：设直线代入抛物线，韦达定理得中点，垂直平分线与 $x$ 轴交点用点斜式

方法推广：定值证明的最后一步是消参：$1-\cos 2\alpha =2{\sin }^2\alpha$ 与 $\frac{4}{{\sin }^2\alpha }$ 相乘后参数消失

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2010-重庆卷文-13 填-抛物线焦点弦
• 2012-重庆卷理-14
• 2011-重庆卷理-15