2007-重庆卷理-02 单-条件结论否定形式

本题导读

本题考查常用逻辑用语中逆否命题的规范书写。核心在于牢记逆否命题的“换位且取反”规则，并精确写出条件与结论对应的否定形式。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 命题“若 $x^2<1$，则 $-1<x<1$”的逆否命题是()

A. 若 $x^2\ge 1$，则 $x\ge 1$ 或 $x\le -1$

B. 若 $-1<x<1$，则 $x^2<1$

C. 若 $x>1$ 或 $x<-1$，则 $x^2>1$

D. 若 $x\ge 1$ 或 $x\le -1$，则 $x^2\ge 1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确逆否命题结构：对于原命题“若 $p$， 则 $q$”， 其逆否命题的标准形式固定为“若 $\neg q$， 则 $\neg p$”。

2. 否定结论 $q$：结论为 $-1<x<1$（代表 $x>-1$ 且 $x<1$）。其逻辑否定形式由“且”变为“或”， 即 $\neg q:x\le -1$ 或 $x\ge 1$。

3. 否定条件 $p$：条件为 $x^2<1$。其逻辑否定形式直接取对立面， 即 $\neg p:x^2\ge 1$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：设原命题的条件为 $p:x^2<1$， 结论为 $q:-1<x<1$。 根据四种命题的构造规则， 原命题“若 $p$， 则 $q$” 对应的逆否命题标准形式为：“若 $\neg q$， 则 $\neg p$”（即：交换条件与结论的位置， 并同时对二者进行逻辑否定）。

• 第一步：求解结论 $q$ 的否定（即 $\neg q$） 原结论为 $-1<x<1$， 在数轴上表示一个开区间。 其对立面的补集区域为数轴上该开区间的外侧部分（包括边界端点）。 因此， 它的否定形式为： $\neg q:x\le -1\text{或}x\ge 1$

• 第二步：求解条件 $p$ 的否定（即 $\neg p$） 原条件为 $x^2<1$。 小于号的逻辑对立面为大于或等于号。 因此， 它的否定形式为： $\neg p:x^2\ge 1$

将上述 $\neg q$ 与 $\neg p$ 顺次填入“若……，则……”的逆否模板中， 得到： “若 $x\ge 1$ 或 $x\le -1$， 则 $x^2\ge 1$”。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：逆否命题“条件结论换位取反”法、连不等式（且逻辑）否定后转化为分立不等式（或逻辑）的符号规范。
2. 核心方法：命题成分结构化分解法。
3. 避坑指南：

• 容易错选 A 选项。A 选项只否定了符号但没有交换条件和结论的位置， 属于原命题的“否命题”而非“逆否命题”。

• 否定 $-1<x<1$ 时，千万注意要把严格小于号 $<$ 转化为带等号的 $\ge$ 或 $\le$。不能漏掉等号（如 C 项漏掉了等号，错误）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学选修1-1（或必修一）常用逻辑用语章节的基础概念题。

2. 结论推广: 针对任何含有连不等式结论的命题“若 $p$，则 $a<x<b$”，其逆否命题的条件一律固定收敛写为“若 $x\le a$ 或 $x\ge b$”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系