2007-重庆卷理-22 解-圆锥曲线极坐标方程应用

本题导读

本题为2007年重庆高考理科数学的压轴大题。第一问通过焦点和准线的基本几何量直接确立椭圆的标准方程；第二问以焦半径倒数和的形式呈现，由于三个角均布且互差 $120^{\circ }$，若采用常规直角坐标系联立极其冗长，而若将极坐标原点平移至右焦点 $F$，利用圆锥曲线的极坐标统一方程可实现极简秒杀。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 如图，中心在原点 $O$ 的椭圆的右焦点为 $F(3,0)$，右准线 $l$ 的方程为: $x=12$.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 在椭圆上任取三个不同点 $P_1、P_2、P_3$， 使 $\angle P_{1}F{P}_2=\angle P_{2}F{P}_3=\angle P_{3}F{P}_1$， 证明 $\frac{1}{|F{P}_1|}+\frac{1}{|F{P}_2|}+\frac{1}{|F{P}_3|}$ 为定值，并求此定值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 椭圆右焦点 $F(3,0)⟹c=3$.
• 右准线方程 $x=\frac{a^2}{c}=12⟹a^2=12c=36⟹a=6$.
• 根据 $b^2=a^2-c^2=36-9=27$，直接写出方程。

2. 第二问：

• 条件 $\angle P_{1}F{P}_2=\angle P_{2}F{P}_3=\angle P_{3}F{P}_1$ 表明这三个点关于右焦点 $F$ 在角度上是三等分圆周的，即每两个点与焦点连线的夹角均为 $120^{\circ }$（即 $\frac{2\pi }{3}$）。

• 以右焦点 $F$ 为极坐标原点， $x$ 轴正半轴方向为极轴建立空间极坐标系。

• 在此极坐标系下，椭圆上任意点到焦点 $F$ 的极径（即焦半径）满足标准极坐标统一方程： $\rho =\frac{ep}{1+e\cos \theta }=\frac{\frac{b^2}{a}}{1+e\cos \theta }$.

• 设 $P_1$ 的极角为 $\alpha$，则 $P_2,P_3$ 的极角分别为 $\alpha +\frac{2\pi }{3},\alpha +\frac{4\pi }{3}$。将这三个极角代入焦半径倒数公式中求和，利用三角函数的和差化积法则消去未知变角 $\alpha$ 即可证明定值。

✅【答案】

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由椭圆的右焦点为𝐹(3,0)，得焦半距𝑐=3.右准线为𝑥=12，而椭圆的离心率满足𝑒=𝑐

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$. 由题意，椭圆的右焦点为 $F(3,0)$，得： $c=3$ 右准线方程为 $x=12$，根据椭圆的几何准线公式满足 $x=\frac{a^2}{c}=12$，代入 $c=3$ 得： $a^2=12\times 3=36$ 根据椭圆基本量代数关系 $b^2=a^2-c^2$，得： $b^2=36-9=27$ 所以，椭圆的方程为： $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$

（2）证明：由（1）可知，椭圆的离心率为 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. 以椭圆的右焦点 $F(3,0)$ 为极坐标系的原点（极点），以 $x$ 轴的正半轴方向为极轴建立极坐标系。 根据圆锥曲线的统一极坐标方程（焦点到对应准线的距离为 $d=12-3=9$），椭圆上任意一点 $P(\rho ,\theta )$ 到右焦点 $F$ 的距离 $\rho$（即 $|FP|$）刚性满足公式： $\rho =\frac{e\cdot d}{1+e\cos \theta }=\frac{\frac{1}{2}\times 9}{1+\frac{1}{2}\cos \theta }=\frac{9}{2+\cos \theta }$ 将其取倒数变形，得到极轴距离的倒数表达式： $\frac{1}{|FP|}=\frac{1}{\rho }=\frac{2+\cos \theta }{9}$

因为 $\angle P_{1}F{P}_2=\angle P_{2}F{P}_3=\angle P_{3}F{P}_1$，且其和为 $360^{\circ }$， 所以这三个角的大小满足： $\angle P_{1}F{P}_2=\angle P_{2}F{P}_3=\angle P_{3}F{P}_1=\frac{2\pi }{3}$ 设点 $P_1$ 对应的极角为 $\alpha$，则点 $P_2$ 和 $P_3$ 对应的极角可以依次表示为： ${\theta }_1=\alpha ,{\theta }_2=\alpha +\frac{2\pi }{3},{\theta }_3=\alpha +\frac{4\pi }{3}$

将这三个不同的极角代入倒数公式并进行求和： $\frac{1}{|F{P}_1|}+\frac{1}{|F{P}_2|}+\frac{1}{|F{P}_3|}=\frac{2+\cos \alpha }{9}+\frac{2+\cos \left(\alpha +\frac{2\pi }{3}\right)}{9}+\frac{2+\cos \left(\alpha +\frac{4\pi }{3}\right)}{9}$ $\frac{1}{|F{P}_1|}+\frac{1}{|F{P}_2|}+\frac{1}{|F{P}_3|}=\frac{1}{9}\left[6+\cos \alpha +\cos \left(\alpha +\frac{2\pi }{3}\right)+\cos \left(\alpha +\frac{4\pi }{3}\right)\right]$

利用两角和的余弦公式将后两项展开化简： $\cos \left(\alpha +\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{2\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$ $\cos \left(\alpha +\frac{4\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{4\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}\cos \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$ 将两展开式相加： $\cos \left(\alpha +\frac{2\pi }{3}\right)+\cos \left(\alpha +\frac{4\pi }{3}\right)=-\cos \alpha$

代回求和式中： $\frac{1}{|F{P}_1|}+\frac{1}{|F{P}_2|}+\frac{1}{|F{P}_3|}=\frac{1}{9}[6+\cos \alpha +(-\cos \alpha )]=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

因为计算结果 $\frac{2}{3}$ 是一个与初始选择夹角 $\alpha$ 毫无关系的常数， 所以， $\frac{1}{|F{P}_1|}+\frac{1}{|F{P}_2|}+\frac{1}{|F{P}_3|}$ 为定值，且该定值为 $\frac{2}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆第一、第二几何基本量的建立、以焦点为中心的焦半径极坐标方程表示（ $\rho =\frac{ep}{1+e\cos \theta }$）、均布角度 $\theta ,\theta +120^{\circ },\theta +240^{\circ }$ 的三角函数对消。
2. 核心方法：极坐标法。
3. 避坑指南：

• 本题是典型的**“直角坐标火葬场，极坐标天堂”**的考题。如果选择在平面直角坐标系下设三条直线的斜率，由于要涉及三个互差 $120^{\circ }$ 的斜率相乘与联立方程，运算量巨大且极其容易由于中途计算崩溃而失分。牢记过焦点的多辐射线问题，极坐标方程是唯一的秒杀工具。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、椭圆的第二定义（焦半径公式），是重庆卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（极坐标转化法、诱导公式与余弦和差化简法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：椭圆的标准方程与几何性质、椭圆的第二定义（焦半径公式）相互关联，解答中综合运用了极坐标转化法、诱导公式与余弦和差化简法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-22 解-弦切角定理
• 2013-新课标II卷理-22 解-弦切角定理
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义