2007-陕西卷文-15 填-分类计数分配方案

本题导读

本题考查分类计数原理，以及排列组合的分配问题。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 安排 $3$ 名支教教师去 $4$ 所学校任教，每校至多 $2$ 人，则不同的分配方案共有　　　　种（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每校至多 2 人，分配分两类。
2. 第一类：3 人分去 3 所不同学校，每校 1 人，${\mathrm{C}}_4^3{\mathrm{A}}_3^3=24$。
3. 第二类：恰 2 所学校接受教师，一所 2 人一所 1 人，${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_3^2=36$。

✅【答案】

点击查看答案

60

✍【详细解析】

Abstract

每名教师均不同，且每校至多安排 2 人，分配方式只有两类． 第一类：3 名教师分别去 3 所不同的学校，每校 1 人，共 ${\mathrm{C}}_4^3{\mathrm{A}}_3^3=4\times 6=24$ 种． 第二类：恰有 2 所学校接受教师，其中一所安排 2 人、另一所安排 1 人，共 ${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_3^2=6\times 2\times 3=36$ 种． 因此不同分配方案共有 $24+36=60$ 种．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类计数分配方案

核心方法：分两类：三校各一人 ${\mathrm{C}}_4^3{\mathrm{A}}_3^3=24$；两校 $2+1$ 分 ${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_3^2=36$，共 $60$

避坑指南：分类要”不重不漏”：三校各一人与两校分配互斥；第二类先选两校再定哪校放 2 人，顺序别漏乘 ${\mathrm{C}}_2^1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于分类加法计数原理与分配问题，教材”分类加法计数原理”典型题

结论推广：一般化：$n$ 个不同元素分到 $m$ 个不同位置、每位置限量时，先分类再分步

方法推广：分配问题”先选位置再排人”，分类时保证互斥；每校至多 2 人意味着分两类处理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.04 分配问题

类题演练(Links)

• 2009-陕西卷文-09 单-选排组数
• 2008-陕西卷文-16 填-火炬传递分步计数
• 2009-陕西卷文-16 填-容斥原理计数