2007-陕西卷理-13 填-分式通项化简因式分解

本题导读

本题考查函数极限的四则运算。核心在于先将两有理分式进行通分、化简，通过因式分解约去导致分母为零的零因子，从而直接代入求得极限值。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） ${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{2x+1}{x^2+x-2}-\frac{1}{x-1}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 通分化简：将分母 $x^2+x-2$ 分解为 $(x-1)(x+2)$，然后对两项进行通分合并。

2. 消除零因子：将分子合并整理后，约去分子分母共同包含的因式 $(x-1)$，再求 $x\to 1$ 时的极限。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

原式 $={\lim }_{x\to 1}\left[\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}-\frac{x+2}{(x-1)(x+2)}\right]$ $={\lim }_{x\to 1}\frac{(2x+1)-(x+2)}{(x-1)(x+2)}$ $={\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+2)}$ $={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x+2}$ $=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有理分式在不定式（$\frac{0}{0}$型）状态下的极限求解规律。

2. 核心方法：先通分变形、后约分化简。

3. 避坑指南：切勿在未通分前直接将 $x=1$ 代入，否则会导致出现 $\infty -\infty$ 的错误未定式形态。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于人教版选修 2-2 导数与极限章节中关于“函数极限的四则运算”的经典课后例题。

5. 结论推广：对任意形如 ${\lim }_{x\to x_0}[\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{h(x)}{p(x)}]$ 的未定式极限，若分母含有共同的零因子 $(x-x_0)$，通用法则均是通过代数通分将其转化为整体有理式后约分求解。

🔗【关联脉络】

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• 20.01 导数定义与几何意义

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