本题导读
本题考查排列组合中的元素不均匀分配问题。通过对 3 名教师去 6 所学校且“每校至多 2 人”这一容斥限制条件，要求学生通过严谨的分类讨论策略，实现计数模型的精准构建。
📌【题干】
Question
（2007年陕西卷(理)） 安排 3 名支教教师去 6 所学校任教，每校至多 2 人，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
🔍【思路分析】
破题导航
- 状态分类：由于教师总数仅 3 人，满足“每校至多 2 人”的分配模式只有两种情况：
- 情况一：3名教师去3所不同的学校，每校1人（即“1, 1, 1”结构）；
- 情况二：有2名教师打包去同一所学校，剩下1名教师去另一所学校（即“2, 1”结构）。
计算汇总：对两种独立情况分别运用排列组合公式计算出方案数，最后利用分类加法原理求和。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
根据“每校至多 2 人”的限制，将 3 名教师的分配方案分为两类：
第一类方案：3名教师各去一所不同的学校（每校1人）． 先从 6 所学校中选出 3 所，再将 3 名教师进行全排列： 方法数为 种．
第二类方案：有2名教师去同一所学校，另1名教师去另一所学校（一校2人，一校1人）． 先从 3 名教师中选出 2 人合为一个组：方法数为 种； 此时变为 2 个元素实体（一个双人组，一个单人项），分配到 6 所学校中的 2 所不同的学校： 方法数为 种． 则第二类方案总数为 种．
由分类加法计数原理可知，总的分配方案种数为： 种．
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：有限元素的分类分配模型，排列组合基本公式的混合交叉应用。
核心方法：不重不漏的分类讨论法。
避坑指南：容易忽略“2, 1”分组时，分出来的两个实体（双人组与单人项）是互不相同的，放入学校时属于排列 而非组合 ；同时要警惕分类界限模糊导致重复计数。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题源于教材中排列组合综合应用章节中关于“分组与分配”问题的演变题型，是高考考查概率统计前置排列组合基本功的压轴填空题。
结论推广：对于 个不同元素分配到 个不同位置且满足容斥边界的问题，通用解法是依据整数拆分原理（Integer Partition），先将 拆分为符合边界的各项整数和，再通过组合数进行“先分组、后分配”的标准两步走代数运算。
🔗【关联脉络】
Multi column