2008-上海卷理-20 解-圆锥曲线

本题导读

本题是一道综合性强的解析几何压轴题。第一问通过直线的解析式与抛物线联立，求解特定交点坐标；第二问通过代数运算证明点 $Q$ 的坐标满足双曲线方程；第三问是动点轨迹的逆向探究题，根据交点的性质和对称条件，逆向推导参数 $a,b$ 的几何轨迹。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 设 $P(a,b)$（$b\ne 0$）是平面直角坐标系 $xOy$ 中的点，$l$ 是经过原点与点 $(1,b)$ 的直线，记 $Q$ 是直线 $l$ 与抛物线 $x^2=2py$（$p\ne 0$）的异于原点的交点.

(1)已知 $a=1,b=2,p=2$，求点 $Q$ 的坐标；

(2)已知点 $P(a,b)$（$ab\ne 0$）在椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上，$p=\frac{1}{2ab}$，求证：点 $Q$ 落在双曲线 $4x^2-4y^2=1$ 上；

(3)已知动点 $P(a,b)$ 满足 $ab\ne 0$，$p=\frac{1}{2ab}$，若点 $Q$ 始终落在一条关于 $x$ 轴对称的抛物线上，试问动点 $P$ 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：写出通过原点和 $(1,2)$ 的直线 $l$ 的方程 $y=2x$，与抛物线 $x^2=4y$ 联立，消去 $y$ 求解非零交点。
2. 第二问：先求出通用情况下点 $Q$ 的坐标表达式（用 $b,p$ 表示）。将 $p=\frac{1}{2ab}$ 代入得到含有 $a,b$ 的 $Q$ 点坐标，然后利用 $P$ 在椭圆上满足的方程 $\frac{a^2}{4}+b^2=1$ 进行代换，验证其是否符合双曲线方程。
3. 第三问：根据 $Q$ 始终在关于 $x$ 轴对称的抛物线上，设该抛物线为 $x=m{y}^2$ 或 $y=m{x}^2$（结合关于 $x$ 轴对称，其标准方程形式应为 $y^2=mx$），将 $Q$ 点坐标代入，由于 $m$ 为常数，从而导出 $a,b$ 之间满足的关系式，进而确定二次曲线类型。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意，直线 $l$ 经过原点 $O(0,0)$ 与点 $(1,b)$，其斜率为 $b$，故直线 $l$ 的方程为 $y=bx$。 联立直线 $l$ 与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}y=bx\\ x^2=2py\end{array}⟹x^2=2pbx⟹x(x-2pb)=0$ 因为 $Q$ 是异于原点的交点，所以 $x_Q=2pb$。 代入直线方程得 $y_Q=b\cdot 2pb=2p{b}^2$。 故交点 $Q$ 的通用坐标为 $\left(2pb,2p{b}^2\right)$。

(1)当 $b=2,p=2$ 时， $x_Q=2\times 2\times 2=8$， $y_Q=2\times 2\times 2^2=16$。 所以点 $Q$ 的坐标为 $(8,16)$。

(2)证明：将 $p=\frac{1}{2ab}$ 代入 $Q$ 的通用坐标公式中得： $x_Q=2\cdot \frac{1}{2ab}\cdot b=\frac{1}{a}$ $y_Q=2\cdot \frac{1}{2ab}\cdot b^2=\frac{b}{a}$ 即 $Q\left(\frac{1}{a},\frac{b}{a}\right)$。 因为点 $P(a,b)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上，所以满足 $\frac{a^2}{4}+b^2=1$，即 $a^2+4b^2=4$，两边同除以 $a^2$ 得： $1+4{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{4}{a^2}⟹\frac{4}{a^2}-4{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=1$ 将 $x_Q=\frac{1}{a},y_Q=\frac{b}{a}$ 代入上式可得： $4x_Q^2-4y_Q^2=1$ 所以点 $Q$ 落在双曲线 $4x^2-4y^2=1$ 上。

(3)解：动点 $P$ 的轨迹落在椭圆上。理由如下： 由(2)可知，点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{a},\frac{b}{a}\right)$。 因为点 $Q$ 始终在一项关于 $x$ 轴对称的抛物线上，关于 $x$ 轴对称的抛物线标准方程形式为 $y^2=mx$ ($m\ne 0$)。 将 $Q$ 点坐标代入该抛物线方程得： ${\left(\frac{b}{a}\right)}^2=m\cdot \frac{1}{a}⟹\frac{b^2}{a^2}=\frac{m}{a}$ 由于 $ab\ne 0$，两边同乘 $a^2$ 得： $b^2=ma⟹ma-b^2=0⟹\frac{b^2}{m}-a=0$ 因该方程关于 $b$ 带有平方项，关于 $a$ 为一次项，其形式为抛物线。 注：若题意指抛物线顶点不在原点，仅关于 $x$ 轴对称，可设为 $y^2=mx+n$ ($m\ne 0$)。 代入 $Q$ 的坐标得： ${\left(\frac{b}{a}\right)}^2=m\left(\frac{1}{a}\right)+n⟹\frac{b^2}{a^2}=\frac{m}{a}+n$ 两边同乘 $a^2$ 并移项变形得： $n{a}^2+ma-b^2=0$ 因为抛物线确定，则 $n,m$ 为常数。 由 $n{a}^2-b^2+ma=0$ 满足二次曲线通式，其满足当 $n<0$ 时为椭圆，当 $n>0$ 时为双曲线，当 $n=0$ 时即为上述抛物线。 通常高考考查其基本对称形态（即顶点在原点），由 $b^2-ma=0$ 知，动点 $P$ 的轨迹落在抛物线上。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：联立方程组求交点、消参法求轨迹、二次曲线几何对称性质的解析表达。
2. 核心方法：参数代换法，在第二问中，通过把 $Q$ 点的坐标表示为 $P$ 点坐标 $(a,b)$ 的分式形态，巧妙利用已知椭圆方程实现整体消元。
3. 避坑指南：

• 在第二问化简中，注意不要盲目去解出 $a$ 或 $b$ 的根式，直接对椭圆方程两边除以 $a^2$ 可以直接凑出双曲线的解析式结构；
• 第三问中对“关于 $x$ 轴对称的抛物线”的设法要严谨，图形关于 $x$ 轴对称意味着当 $y$ 变为 $-y$ 时方程不变，故方程中必定含且仅含 $y$ 的偶次方项（即 $y^2$），切勿设错成 $y=m{x}^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于解析几何中的“几何变换与映射”问题，通过对动点 $P$ 进行某种代数规则的映射，将其转化为另一曲线上点 $Q$ 的运动，进而考查曲线系之间的对偶性质。
2. 结论推广: 设平面映射关系为 $(x,y)\to \left(\frac{1}{x},\frac{y}{x}\right)$，该变换在射影几何中被称为“反演变换”或“对偶变换”的某种变式。它能将一类二次曲线（如椭圆）的轨迹特征对偶映射为另一类二次曲线（如双曲线）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-21 解-圆锥曲线
• 2011-福建卷文-11 单-圆锥曲线离心率
• 2014-湖南卷文-20 解-圆锥曲线