2008-北京卷理-04 单-抛物线

本题导读

本题考查动点的轨迹判定，通过转化已知几何距离关系，利用抛物线的几何定义直接判定轨迹形状，从而避免了繁琐的代数运算。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 若点 $P$ 到直线 $x=-1$ 的距离比它到点 $(2,0)$ 的距离小 1，则点 $P$ 的轨迹为 ()

A. 圆　　　　　B. 椭圆　　　　　C. 双曲线　　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，写出几何条件的等式：$d(P,l_{x=-1})=d(P,F_{(2,0)})-1$。
2. 将其变形为 $d(P,F_{(2,0)})=d(P,l_{x=-1})+1$。
3. 分析当点 $P$ 在直线 $x=-1$ 右侧时，距离加 1 相当于点 $P$ 到哪条新直线的距离，再结合圆锥曲线的定义做出判断。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设点 $P$ 坐标为 $(x,y)$。由题意，点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离为 $d(P,F)$，到直线 $x=-1$ 的距离为 $|x+1|$。 已知条件为： $|x+1|=d(P,F)-1⟹d(P,F)=|x+1|+1$ 由于 $d(P,F)\ge 0$，且点 $P$ 显然位于直线 $x=-1$ 的右侧，即 $x>-1$， 所以 $|x+1|+1=x+1+1=x+2$。 而 $x+2$ 恰好表示点 $P(x,y)$ 到直线 $x=-2$ 的距离。 因此，代数式可转化为：点 $P$ 到定点 $F(2,0)$ 的距离等于它到定直线 $x=-2$ 的距离。 根据抛物线的定义（平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线），点 $P$ 的轨迹是以 $F(2,0)$ 为焦点，直线 $x=-2$ 为准线的抛物线。 故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的几何定义（$d(P,F)=d(P,l)$）。
2. 核心方法：定义转化法。将复杂的距离等式通过代数平移，凑出圆锥曲线的定义模型。
3. 避坑指南：切忌盲目套用两点距离公式和点到直线距离公式列出带有根号的方程去化简，容易因计算量过大或忽略取值范围而导致解题失败。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解析几何轨迹题中的“定性判定题”，直接考查教材中对抛物线定义的深入理解。
2. 结论推广: 类似地，若点 $P$ 到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比为常数 $e$，则当 $e=1$ 时为抛物线，$0<e<1$ 时为椭圆，$e>1$ 时为双曲线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-北京卷理-08 单-抛物线
• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距