2008-北京卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的综合应用，通过赋值法求解展开式的各项系数之和以确定幂指数 $n$，再利用通项公式求出特定项（常数项）的值。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 若 ${\left(x^2+\frac{1}{x^3}\right)}^n$ 展开式的各项系数之和为 32，则 $n=$ $\underline{}$，其展开式中的常数项为 $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 利用赋值法，令 $x=1$，展开式即化为各项系数之和，借此列方程求出 $n$。
2. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$，将自变量 $x$ 的指数整理化简。
3. 令 $x$ 的指数等于 0，解出 $r$ 的值，进而求得常数项。

✅【答案】

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$5，10$

✍【详细解析】

Abstract

在展开式 ${\left(x^2+\frac{1}{x^3}\right)}^n$ 中，令 $x=1$，则各项系数之和为： $(1^2+1{)}^n=2^n$ 已知各项系数之和为 32，所以 $2^n=32⟹n=5$。

由此，二项式的展开式通项公式为： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)(x^2{)}^{5-r}{\left(x^{-3}\right)}^r=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r})x^{10-2r}\cdot x^{-3r}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r})x^{10-5r}$ 要求展开式中的常数项，只需令 $x$ 的指数为 0： $10-5r=0⟹r=2$ 将 $r=2$ 代入通项公式得常数项为： $T_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 答案：5；10

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的“各项系数之和”与“二项式系数之和”的区别（本题中由于两项前系数均为1，两者等价）；二项式通项公式。
2. 核心方法：求系数和用“赋值法”（令 $x=1$），求特定项用“通项指数方程法”。
3. 避坑指南：注意通项公式中常数项对应的项数是 $T_{r+1}$，解出 $r=2$ 时，对应的常数项是第 3 项，但在计算具体常数项数值时仍使用的是组合数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 取材于人教A版选修2-3“二项式定理”的经典综合练习题。
2. 结论推广: 一般地，求 $(a{x}^p+b{x}^q{)}^n$ 展开式的所有项系数之和，直接令 $x=1$ 得到 $(a+b{)}^n$；若要求常数项，解方程 $p(n-r)+qr=0$ 得到 $r$ 即可。

🔗【关联脉络】

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