2008-北京卷理-20 解-不等式

本题导读

本题是一道全新的定义创新题。考查对新定义变换 $T_1,T_2$ 和特征函数 $S(B)$ 的理解与应用。通过代数恒等变形证明函数值的结构不变性，并借助排序不等式证明特征值的非增性，最终利用单调有界原理证明数列的最终稳定性。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 对于每项均是正整数的有限数列 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_n$，定义变换 $T_1$，$T_1$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_1(A):n,a_1-1,a_2-1,\cdots ,a_n-1$. 对于每项均局是非负整数的有限数列 $B:b_1,b_2,\cdots ,b_m$，定义变换 $T_2$，$T_2$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_2(B)$；又定义 $S(B)=2(b_1+2b_2+\cdots +m{b}_m)+b_1^2+b_2^2+\cdots +b_m^2$. 设 $A_0$ 是每项均为正整数的有限数列，令 $A_{k+1}=T_2(T_1(A_k))(k=0,1,2,\cdots )$.

(1) 如果数列 $A_0$ 为 $5,3,2$，写出数列 $A_1,A_2$；

(2) 对于每项均是正整数的有限数列 $A$，证明 $S(T_1(A))=S(A)$；

(3) 证明：对于任意给定的每项均为正整数的有限数列 $A_0$，存在正整数 $K$，当 $k\ge K$ 时，$S(A_{k+1})=S(A_k)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：严格按照 $T_1$（前置项数，其余项减1）与 $T_2$（降序排列并去0）的定义分步计算。
2. 第(2)问：将 $T_1(A)$ 的各项代入 $S(B)$ 的定义式中，利用求和符号 $\sum$ 展开，并通过代数合并证明其与 $S(A)$ 完全相等。
3. 第(3)问：利用排序不等式证明对于任意非负整数数列 $B$，将其降序排列后对应的 $S(T_2(B))\le S(B)$，从而导出 $S(A_{k+1})\le S(A_k)$。结合 $S(A_k)$ 恒为正整数，应用单调有界原理获证。

✅【答案】

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（1）𝐴1为4，3，2，1，𝐴2为4，3，2，1.

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 已知 $A_0$ 为 $5,3,2$，项数 $n=3$。 根据 $T_1$ 的定义：$T_1(A_0)=3,5-1,3-1,2-1⟹3,4,2,1$。 根据 $T_2$ 的定义，将 $3,4,2,1$ 从大到小排列并去掉 0，得： $A_1=4,3,2,1$ 对 $A_1$ 进行变换，此时项数 $n=4$。 根据 $T_1$ 的定义：$T_1(A_1)=4,4-1,3-1,2-1,1-1⟹4,3,2,1,0$。 根据 $T_2$ 的定义，从大到小排列并去掉 0，得： $A_2=4,3,2,1$

(2) 证明： 设有限数列 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_n$，根据定义有： $S(A)=2{\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i+{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2$ 依题意，数列 $T_1(A)$ 共有 $n+1$ 项，设为 $B:b_1,b_2,\cdots ,b_{n+1}$， 其中 $b_1=n$，且当 $2\le j\le n+1$ 时，$b_j=a_{j-1}-1$。 代入 $S(B)$ 的定义式可得： $S(T_1(A))=2\left(1\cdot b_1+{\sum }_{j=2}^{n+1}j{b}_j\right)+b_1^2+{\sum }_{j=2}^{n+1}{b}_j^2$ $=2n+2{\sum }_{i=1}^n(i+1)(a_i-1)+n^2+{\sum }_{i=1}^n(a_i-1{)}^2$ $=2n+2{\sum }_{i=1}^n(i{a}_i-i+a_i-1)+n^2+{\sum }_{i=1}^n(a_i^2-2a_i+1)$ 将求和逐项拆开合并： $=2n+2{\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i-2{\sum }_{i=1}^{n}i+2{\sum }_{i=1}^n{a}_i-2n+n^2+{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2-2{\sum }_{i=1}^n{a}_i+n$ $=2{\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i+{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2-2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n^2+n$ $=2{\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i+{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2-(n^2+n)+n^2+n=2{\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i+{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2=S(A)$ 故 $S(T_1(A))=S(A)$ 成立。

(3) 证明： 设 $B:b_1,b_2,\cdots ,b_m$ 是每项均为非负整数的有限数列。 将 $B$ 的各项从大到小排列并去掉 0 后得到数列 $T_2(B):c_1,c_2,\cdots ,c_r$，则 $c_1\ge c_2\ge \cdots \ge c_r>0$。 根据 $S(B)$ 的定义可知，各数平方和在重排与去掉 0 后保持不变，即 ${\sum }_{j=1}^m{b}_j^2={\sum }_{i=1}^r{c}_i^2$。 对于其线性权重求和项，由于序列 $1,2,\cdots ,r$ 是递增的，而 $c_1,c_2,\cdots ,c_r$ 是递减的， 根据排序不等式（反序和最小，顺序和最大），将原非负整数乱序（或含有0）与位置相乘的项进行重排后，反序排列对应的和达到最小，即： ${\sum }_{i=1}^{r}i{c}_i\le {\sum }_{j=1}^{m}j{b}_j$ 由此可得 $S(T_2(B))\le S(B)$。 由于 $A_{k+1}=T_2(T_1(A_k))$，代入上述结论有： $S(A_{k+1})=S(T_2(T_1(A_k)))\le S(T_1(A_k))$ 结合第(2)问的结论 $S(T_1(A_k))=S(A_k)$，可得： $S(A_{k+1})\le S(A_k)$ 这意味着对于任意有限正整数数列 $A_0$，新定义的特征值序列 $\{S(A_k)\}$ 是一个单调递减（非增）的序列。 又因为数列 $A_k$ 的各项皆为正整数，由定义式可知 $S(A_k)>0$，即序列 $\{S(A_k)\}$ 有下界。 由于 $S(A_k)$ 只能取正整数值，一个非增的正整数有限生存序列不可能无限递减，必然在有限步后停止变化。 因此，必定存在一个正整数 $K$，当 $k\ge K$ 时，$S(A_{k+1})=S(A_k)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象新定义算法的离散化执行；用求和符号 $\sum$ 处理复杂的代数恒等变形；利用排序不等式论证动态最值特征。
2. 核心方法：

• 第(2)问的核心是将下角标由 $j$ 统一替换为 $i=j-1$，从而实现相同求和区间的项对齐与抵消。
• 第(3)问利用“单调有界原理”处理整型轨迹问题：正整数构成的非增序列必然在有限步内收敛。

3. 避坑指南：

• 第(1)问中执行 $T_1$ 时，切记首项是原数列的“项数”，而不是原数列的第一项。
• 第(3)问中容易直接卡壳，无法建立 $T_2$ 前后代数式的大小关系，必须看穿 $T_2$ 产生的“降序”在排序不等式中对应“反序和”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有高等数学中离散动力系统与杨图（Young Diagrams）的深刻背景，属于组合数学中关于整数分拆（Integer Partition）的一种对偶变换模型。
2. 结论推广: 该变换在重复迭代下不仅特征值 $S(A_k)$ 最终保持不变，且整个数列 $A_k$ 最终也会进入一个固定点（如本题中的 $4,3,2,1$）或在极小的周期内循环，体现了离散映射系统的耗散性与自组织特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-四川卷理-01 单-绝对值不等式
• 2009-四川卷理-06 单-不等式