2008-四川卷理-07 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式、基本不等式与双勾函数。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_2=1$, 则其前 3 项的和 $S_3$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,-1]$　　B. $(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$　　C. $[3,+\infty )$　　D. $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设等比数列公比为 $q(q\ne 0)$，由 $a_2=1$ 表示出 $a_1$ 和 $a_3$。
2. 将 $S_3$ 表示为关于 $q$ 的函数，利用基本不等式或双勾函数的单调性分类求解取值范围。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，且 $q\ne 0$。 因为 $a_2=1$，所以 $a_1=\frac{1}{q}$，$a_3=q$。 前 3 项和 $S_3=a_1+a_2+a_3=\frac{1}{q}+1+q$。 对公比 $q$ 分类讨论： ① 当 $q>0$ 时： $S_3=q+\frac{1}{q}+1⩾2\sqrt{q\cdot \frac{1}{q}}+1=3$ （当且仅当 $q=1$ 时等号成立）； ② 当 $q<0$ 时，$-q>0$： $S_3=-\left(-q+\frac{1}{-q}\right)+1⩽-2\sqrt{(-q)\cdot \frac{1}{-q}}+1=-1$ （当且仅当 $q=-1$ 时等号成立）。 综上所述，$S_3$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列基本量的转换；利用双勾函数 $y=x+\frac{a}{x}$ 求解值域。
2. 核心方法：公式代换与分类讨论。
3. 避坑指南：容易遗漏等比数列公比 $q<0$ 的情况导致漏解；在使用基本不等式时，必须确保项为正数值才可以应用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由教材中等比数列基本量计算与选修教材中不等式性质相结合而成的综合题。
2. 结论推广：若等比数列中 $a_{2k}=1$（$k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），则其相邻三项之和 $a_{2k-1}+a_{2k}+a_{2k+1}\in (-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-19 解-等比数列与不等式
• 2009-上海卷理-23 解-等比数列
• 2009-北京卷理-20 解-等比数列