2008-四川卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理、多项式展开与系数求法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） $(1+2x{)}^3(1-x{)}^4$ 展开式中 $x^2$ 的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将两部分的通项公式分别列出，或者直接写出低次幂对应的展开项。
2. 依据多项式乘法，分析能产生 $x^2$ 的项的组合情况：常数项 $\times x^2$ 项、$x$ 项 $\times x$ 项、$x^2$ 项 $\times$ 常数项。
3. 计算各组合的系数并求和。

✅【答案】

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$-6$

✍【详细解析】

Abstract

$(1+2x{)}^3$ 的展开式中：

• 常数项为 ${\text{C}}_3^0=1$
• 含 $x$ 项为 ${\text{C}}_3^1(2x)=6x$
• 含 $x^2$ 项为 ${\text{C}}_3^2(2x{)}^2=12x^2$

$(1-x{)}^4$ 的展开式中：

• 常数项为 ${\text{C}}_4^0=1$
• 含 $x$ 项为 ${\text{C}}_4^1(-x)=-4x$
• 含 $x^2$ 项为 ${\text{C}}_4^2(-x{)}^2=6x^2$

根据多项式乘法规律，得到 $x^2$ 的项共有三组组合：

1. $1\times 6x^2=6x^2$
2. $6x\times (-4x)=-24x^2$
3. $12x^2\times 1=12x^2$

综合相加可得 $x^2$ 的系数为：$6-24+12=-6$。

故答案为：$-6$。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：分类讨论与系数累加。
3. 避坑指南：在写 $(1-x{)}^4$ 的展开项时，切记不要漏掉负号，$-x$ 的奇数次幂系数为负，偶数次幂系数为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：改编自教材中二项式定理的应用习题，由单一二项式展开进阶为两个二项式乘积展开。
2. 结论推广：求 $(a+bx{)}^m(c+dx{)}^n$ 展开式中 $x^k$ 的系数，其通项一般表示为 ${\sum }_{i+j=k}{\text{C}}_m^i{a}^{m-i}{b}^i\cdot {\text{C}}_n^j{c}^{n-j}{d}^j$。

🔗【关联脉络】

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• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
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