2008-四川卷理-14 填-圆

本题导读

本题考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 已知直线 $l:x-y+4=0$ 与圆 $C:(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$, 则 $C$ 上各点到 $l$ 的距离的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 找出圆 $C$ 的圆心坐标和半径大小。
2. 运用点到直线的距离公式求出圆心到直线 $l$ 的距离 $d$。
3. 根据圆的几何性质，最小距离即为 $d-R$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由圆的方程 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$ 可知： 圆心为 $C(1,1)$，半径 $R=\sqrt{2}$。 圆心 $C(1,1)$ 到直线 $l:x-y+4=0$ 的距离为： $d=\frac{|1-1+4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ 因为 $d=2\sqrt{2}>R=\sqrt{2}$，说明直线与圆相离。 所以圆 $C$ 上各点到直线 $l$ 的距离的最小值为： $d_{\min }=d-R=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

故答案为：$\sqrt{2}$。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：直线与圆的位置关系，圆上点到直线距离的最值模型（最小值 $d-R$，最大值 $d+R$）。
2. 核心方法：几何法（优于代数参数方程法，计算量最小）。
3. 避坑指南：必须先判断直线与圆相离后再作减法，若相交则距离最小值为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自解析几何中直线与圆位置关系的典型教材例题。
2. 结论推广：圆上点到直线距离的取值范围恒为 $[d-R,d+R]$（当直线与圆相离时）。

🔗【关联脉络】

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$\surd 2$

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷理-14 填-点到直线的距
• 2010-广东卷理-12 填-点到直线的距
• 2010-江苏卷-09 填-圆上点到直线距离