2008-大纲卷I理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形中的边角关系转化与三角恒等变换。第一问利用正弦定理实现边转角，结合两角差的正弦公式求得比值；第二问通过一元化代换，将目标式转化为关于单角的函数形式，利用基本不等式求得最大值。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$，且 $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$.

(1) 求 $\tan A\cot B$ 的值；

(2) 求 $\tan (A-B)$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用正弦定理将已知边角混合等式化为纯角等式，应用两角差的正弦公式和诱导公式进行因式化简，得出 $\tan A$ 与 $\tan B$ 的倍数关系。
2. 第(2)问：将 $\tan A=4\tan B$ 代入两角差的正切公式中，形成关于 $\tan B$ 的一元分式结构，利用基本不等式求解最大值。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，已知等式 $a\cos B-b\cos A=\frac{3}{5}c$ 可化为： $\sin A\cos B-\sin B\cos A=\frac{3}{5}\sin C$ 利用两角差的正弦公式化简左边，得： $\sin (A-B)=\frac{3}{5}\sin C$ 因为 $C=\pi -(A+B)$，所以 $\sin C=\sin (A+B)$，代入上式得： $\sin (A-B)=\frac{3}{5}\sin (A+B)$ 展开两边： $\sin A\cos B-\cos A\sin B=\frac{3}{5}(\sin A\cos B+\cos A\sin B)$ 两边同乘以 5 并移项合并同类项得： $2\sin A\cos B=8\cos A\sin B\Rightarrow \sin A\cos B=4\cos A\sin B$ 在 $△ABC$ 中，由于 $\sin A>0,\sin B>0$，所以 $\cos A$ 与 $\cos B$ 必须同号，即 $A,B$ 均为锐角。 两边同时除以 $\cos A\sin B$ 得： $\frac{\sin A}{\cos A}\cdot \frac{\cos B}{\sin B}=4\Rightarrow \tan A\cot B=4$

(2) 由(1)知 $\tan A=4\tan B$，且 $B$ 为锐角，得 $\tan B>0$。 利用两角差的正切公式可得： $\tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}=\frac{4\tan B-\tan B}{1+4{\tan }^{2}B}=\frac{3\tan B}{1+4{\tan }^{2}B}$ 由于 $\tan B>0$，将分子分母同除以 $\tan B$ 得： $\tan (A-B)=\frac{3}{\frac{1}{\tan B}+4\tan B}$ 由基本不等式可得： $\frac{1}{\tan B}+4\tan B\ge 2\sqrt{\frac{1}{\tan B}\cdot 4\tan B}=4$ 所以： $\tan (A-B)\le \frac{3}{4}$ 当且仅当 $\frac{1}{\tan B}=4\tan B$，即 $\tan B=\frac{1}{2}$ 时等号成立。 此时 $\tan A=2>0$， 且 $\tan (A+B)=\frac{2+\frac{1}{2}}{1-2\times \frac{1}{2}}\to \infty$（即 $A+B=\frac{\pi }{2}$，符合三角形内角条件）。 故 $\tan (A-B)$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的边角互化、三角函数的和差公式、基本不等式求最值。
2. 核心方法：统一自变量换元法。
3. 避坑指南：第(1)问注意将 $\sin C$ 转化为 $\sin (A+B)$ 时不要丢掉符号；第(2)问在使用基本不等式时，必须检验等号成立的条件是否在三角形内角的有效取值范围内（需验证 $\tan B>0$ 且 $A+B<\pi$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中利用正弦定理推导三角形边角乘积恒等式，并结合代数一元分式求最值的经典考查模式。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若 $a\cos B-b\cos A=kc(|k|<1)$，则 $\tan A=\frac{1+k}{1-k}\tan B$，且 $\tan (A-B)$ 的最大值为 $\frac{k}{\sqrt{1-k^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-四川卷理-01 单-绝对值不等式
• 2009-四川卷理-06 单-不等式