2008-安徽卷理-13 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查求解具体函数的定义域，需要同时满足根式、对数式以及分式分母不为零的代数限制条件。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{\sqrt{|x-2|-1}}{{\log }_2(x-1)}$ 的定义域为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建立使函数式有意义的不等式组：被开方数非负；对数真数大于0；分母不为0。
2. 分别解出各个不等式，最后取交集得到自变量 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

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$[3,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，必须满足以下不等式组： $\{\begin{array}{ll}|x-2|-1\ge 0& \text{(1)}\\ x-1>0& \text{(2)}\\ {\log }_2(x-1)\ne 0& \text{(3)}\end{array}$ 解①得：$|x-2|\ge 1⟹x-2\ge 1$ 或 $x-2\le -1$，即 $x\ge 3$ 或 $x\le 1$； 解②得：$x>1$； 解③得：$x-1\ne 1⟹x\ne 2$。 求上述解集的交集： 由 $x\ge 3$ 或 $x\le 1$，与 $x>1$ 联立，可得 $x\ge 3$。 由于 $x\ge 3$ 自然满足 $x\ne 2$， 所以函数的定义域为 $[3,+\infty )$。 答案：$[3,+\infty )$（或填 $\{x\mid x\ge 3\}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数定义域的常规三要素：分母 $\ne 0$，偶次根式被开方数 $\ge 0$，对数真数 $>0$。
2. 核心方法：列出不等式组，逐个化简，利用数轴或逻辑“且”求交集。
3. 避坑指南：容易遗漏分母 ${\log }_2(x-1)\ne 0$ 的限制，或者在解绝对值不等式时出现计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是典型的函数定义域基础考查题，直接对应教材函数概念章节的课后巩固习题。
2. 结论推广: 求解复合函数或复杂代数式定义域时，所有限制条件必须是“且”的关系，缺少任意一个都会导致范围扩大。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称