2008-安徽卷理-15 填-不等式

本题导读

本题考查线性规划中可行域的几何呈现，以及通过平移平行直线系动态探究图形扫过面积的能力。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 若 $A$ 为不等式组 $\{\begin{array}{l}x\le 0\\ y\ge 0\\ y-x\le 2\end{array}$ 表示的平面区域，则当 $a$ 从 $-2$ 连续变化到 $1$ 时，动直线 $x+y=a$ 扫过 $A$ 中的那部分区域的面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 作出不等式组表示的平面区域 $A$，确定其几何形状和各顶点坐标。
2. 分析动直线 $x+y=a$ 在 $a\in [-2,1]$ 时的截距移动范围，找出其在区域 $A$ 内对应的截取部分。
3. 利用整体面积减去未被扫过的特殊三角形面积计算最终结果。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

首先，区域 $A$ 是由直角坐标轴及直线 $y-x=2$ 围成的三角形区域。 其顶点坐标分别为 $O(0,0)$，顶端点 $M(0,2)$，左端点 $N(-2,0)$。 该直角三角形 $OMA$ 的总面积为 $S_{△}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。

动直线 $x+y=a$ 的斜率为 $-1$。 当 $a=-2$ 时，直线 $x+y=-2$ 恰好经过顶点 $N(-2,0)$； 当 $a=1$ 时，直线 $x+y=1$ 穿过该三角形，与 $y$ 轴交于 $(0,1)$，与直线 $y-x=2$ 联立： $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ y-x=2\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}$，即交点为 $P\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$。

当 $a$ 从 $-2$ 连续变化到 $1$ 时，直线扫过了整个区域 $A$ 中满足 $x+y\le 1$ 的部分。 未被扫过的部分是满足 $1<x+y\le 2$ 且在 $A$ 内的区域，它是一个以 $M(0,2)$、$(0,1)$ 和 $P\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ 为顶点的三角形。 该未扫过三角形的底边在 $y$ 轴上，长度为 $2-1=1$；高为点 $P$ 的横坐标绝对值，即 $\frac{1}{2}$。 其面积为 $S_{\text{未}}=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。 因此，扫过部分的面积为 $S=S_{△}-S_{\text{未}}=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。 答案：$\frac{7}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面区域的面积分割与动态平行线系截割几何体问题。
2. 核心方法：通过边界值 $a=-2$ 与 $a=1$ 定位图形分界线，“间接法（补集法）”通常比直角梯形直接求和更快。
3. 避坑指南：切忌主观臆断边界交点，务必精准联立直线方程求出关键点 $P$ 的坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于线性规划传统题型的创新升级，将静态的最值求解演变为动态的扫过面积考查。
2. 结论推广: 设区域面积为 $S_0$，平移割线所形成的未覆盖部分若是相似形，可直接利用相似比的平方来求面积比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-四川卷理-01 单-绝对值不等式
• 2009-四川卷理-06 单-不等式